OG OF OM"^ON

d'où

OF-OM ^cos<P ^ ' ^

ON = -—TTTi — = 5 rr ,

OG 4/ICOS9

TRACé DES TRAIFXTOIRES. 265

V r>( cinq fois l'abaissement cherché ; prenons-en le cinl'jit'me el porlons-le de F en P, le point P sera le point iw-nhê <le la trajectoire. En opérant de même pour r.iijlre> distances, on aura autant de points qu'on voudra w la trajectoire du projectile, et, en faisant passer une «"'irtte continue par ces divers points, on aura la trajec- I Hf Imcée à l'échelle qu'on aura adoptée.

La fij^re 24 représente le tracé de la trajectoire d'un l'K de ()"22 projeté sous l'angle de 16* avec une vitesse *'• I W'". On a fait la construction pour des points dis- :..:/< de lOO-n on 100"».

ir>7. Simplifications. Plusieurs simplifications peuvent •ire apportées dans l'exécution du tracé.

h>MT prendre facilement le cinquième des abaissements 'r.';\c5, on prendra 01 égal à cinq fois une quantité qucl-

• '. p<»; du point I comme centre avec un rjyon IJ éjjal

I nn.î fui» celte quantité ou —, on tracera un arc de

r- !»^ f'K l'on y niènei*a une tangente par le point 0. Cela !. au li*'U de prendre le cinquième de la ligne OD, il Ti"a il»* int»>urer la distance du point D à la ligne 01,

• I :i >o fci-a facilement avec le compas sans tracer au- .:.»' li^'in*.

"■.I poun*a coji>truire les ordonnées à une échelle plus .. • 1*' «pie les abM'is>es, afm de rendre la loi des abais- ' «iiu plus sondible, ce qui sera particulièrement utile '* t- le ui» du tir des projectiles avec de grandes vitesses

* .« <)•' petits angles de projection. Ainsi, si Ton adopte . r. i ■ iap|iorl le même nond)re 5 (|U*on a pris pour le

• ri d«; 4A, on prendra F)F' = 51)F et on tracera OF'; -t j pjrtir de celte ligne qu'on portera les abaissements

r l' = o.N tels qu'on les trouvera ; on opérera de mémo

: ^r l'> autres points, et on aura une trajectoire dont les

'i fioées seront à une échelle cinq fois plus grande que

les abscisses. Lorsqu'on voudra mesurer les inclinaisons, on devra le faire par le moyen des tangentes Irigouomé- Iriques estimées à Téchelie des ordonnées, le rayon devant être estimé à celle des abscisses.

Lorsque Tangle de projection sera petit, les lignes de construction du tracé couperont Thorizontale PA sous des angles très-aigus, et il pourra rester de Tincertitude sur les grandeurs cherchées. Pour éviter cet inconvénient, on tracera une ligne auxiliaire' OB faisant avec Thorizontale un angle suffisamment ouvert, et on y portera, à partir du

point 0, les distances — représentées par OF, ainsi que

la grandeur OG = Acos<j>. On pourra se servir pour cela de la ligne OF' à laquelle sont rapportés les abaissements pris à une échelle multiple de celle des abscisses. Le tracé pourra donner avec une grande facilité les

valeurs de -; pour cela on prendra OQ = c; on élèvera

au point Q une perpendiculaire sur laquelle on prendra QR = 1 , et on joindra OR ; la partie DD' de la verticale passant par les divers points, tels que D compris entre cette ligne et Thorizontale OA, représentera à la même

échelle que QR, pris pour unité, les rapports -.

On aura aussi facilement — . Pour cela, soit pris sur

la ligne de projection à une échelle quelconque OS = V, et soit abaissée la verticale SS,; OS. sera égal à OScos^ = V,; soit pris encore à la même échelle OT = r, élevons la perpendiculaire TU = 1 ; menons OU ; la partie S,Z

de la verticale limitée à cette ligne sera-. A l'aide d'uii

double-décimètre divisé en millimètres et en prenant un ou deux décimètres pour unité, les opérations que Ton vient de décrire deviennent très-faciles et assez exactes.

TRACÉ DES TR\ilSCT0IR£8. 267

158. Tracé de la trajectoire pour des points équidistiuU. Lorsque les dislances des points de la trajectoire qu on se propose de tracer sont arbitraires, et lorsqu'on est maître de prendre des intervalles réguliers égaux, on fw'ut eiécttter le tracé avec plus de facilité. Pour cela, on remarquera que les abaissements dans le vide exprimés

for ;- croissent proportionnellement à x\ ou comme

h's carrés 1, 4, 9, 16.... des abscisses qui croîtraient "mme la snitc naturelle des nombres 1, â, 3, 4,.... et q'je par conséquent de Tun des abaissements on déduira fj'ilement les autres au moyen des lignes proportionr.'.*llc5. Les abaissements dans Tair seront d'ailleurs égaux du produit des précédents par les fonctions ta>(^, V).

Siit proposé de déterminer (Fig. 25) les points de la îr3j»*ctoire dont les abscisses sont 100"™, 200™, 300™,.... N-i'^nt 0.\ la ligne de projection, OB rhorizonlale passant par le point de départ; prenons sur celte ligne les points 1. 2, 3. 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, distants de 100™ entre eux , et OC = A. Abaissons sur OA la perpendiculaire ù} ; 5oit OD l'une des distances , celle de 800™ par

n^raple; délenninons 77 — r- ou 77 ; pour cela, joi-

■ AhcoH*^ 4/IC089 * ' •*

p: •«> UG , et par le point F où la verticale qui passe par î'' point D coupe la ligne de projection OA, menons FN ; irallrle à GD; prenons le quart de ON, et portons-le de f ^ù p^: Tt ^^^ '^ point de la trajectoire dans le vide à '"'«m de O. Si la ligne Fp, était facilement divisible en un r mbre de parties égales au carré de 8, nombre des invnalles égaux que l'on considère, on opérerait direclc- '^-Td celle division ; mais comme cela ne pourrait se ; '''-tenter que par hasard, prenons un rayon plus grand "" ^Pi ^^ ^të^^ ^" nombre 64, carré de 8, des divisions

d'une règle divisée et décrivons un arc de cercle; par le point />g menons une parallèle^à OA ; elle coupera Tare de cercle en q ; menons la droite Fq , et portons sur celle ligne les nombres 1 , 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 , 100.... des divisions de la règle. Par chacun des points de divi* sions, menons des parallèles lelles que q^p^ ; ces lignes couperont la verticale FD^ en des points dont les distances ' au point F seront avec Fp dans le rapport des carrés 1 , 4, 9.... de la suite naturelle des nombres, et seront par conséquent les abaissemenls à lOO*», 200"^, 300"™,.... ces parallèles prolongées couperont les verticales 1, 2, 3.... en des poinls p., p„ pa,.... qui sont les points de la trajectoire dans le vide.

Pour avoir les points correspondants de la trajectoire dans l'air, portons sur une ligne quelconque, sur FJ, par exemple, à parlir de F, FK= 1, et ensuite FI, F2,... F5,... égaux à 'ilb(a:., V), 'iib(^„ V),... ia>(a:i, \^,... ; par l'un do ces poinls de divisions, tel que L5 , menons une parallèle à la ligne ÇsK, elle coupera Fq en 0$; FO5 sera à Fq^ comme 'U^(x. , Y) est à 1 , et par conséquent si par Qj on mène une parallèle à p^q^^ cette ligne coupera la verticale à lu dislance de HOO"^ en un point qui sera le point de la trajectoire dans l'air à cette distance ; on opérera de même pour tous les aulres points. On aura très-facilement par ce moyen des poinls aussi rapprochés qu'on le voudra de la trajectoire qu'on cherche.

On pourra au besoin rendre plus apparents les abaissemenls du projectile en prenant les ordonnées à une échelle .plus grande que celle des abscisses.

159. Tracé des indinaisom de la trajectoire. Par un tracé semblable au précédent, on détermine l'inclinaison de la trajectoire en chaque point. Cette inclinai.son est

donnée par l'équation tang9 = tangç — -- — -^^{x^ V).

TRACÉ DKS TRAJECTOIRES. 269

Yj\ la meltaol sous la forme

x(lang <? — Unge) = -— -— 25(a? , V),

4/1 cos * 9

«»ii «oit, 1o que le premier membre représente la distance •nire la lijni^ do projection et la ligne menée parallèlement j lé tangente à la trajectoire, distance mesurée sur la veris'j!»» qui passe par le point proposé; 2oque le premier :Ki*urdu secoiul membre est rabaissement du projectile

'■r> le vide. Il suffit donc de faire le produit de celui-ci ; r i5(r, V) comme on a fait le produit par ift,(:c, V) l'jr avoir la trajectoire, ['••ur cela , on se servira des divisions faites sur Fq

h;. 55), ou on en établira de semblables sur la ligne Fq' '"'hift par le point F et par la seconde intersection de la "-•''• qPi^ et de Tare de cercle tracé du point F comme

•Mre avec le rayon Fq égal à 64 divisions. Par le point F

: ino^ra une ligne quelconque FJ' sur laquelle on pren-

'•• FK'= 1, et les valeurs de 3(ar., V), 5(t,, V) et

fM = \, Opérant pour la distance de 500™, par exemple,

:• j- oindra </jM ; par le point L/ qui correspond à FL5' - ta J*i, V), on mènera une parallèle à M75, elle coupera '■'-' i.^'n»? Fq on CV» et si par le point Os' on mène une paf' • l»* à pq elle coupera la verticale du point proposé au } «M //^, et la ligne Opf^ sera parallèle à la tangente au ; 'iilf''i, el donnera par conséquent l'inclinaison de la ^♦••linirc en ce point. En joignant par une courbe les î- • :< i#-1n que ;i'j, on obtiendra facilement par son moyen liiiji^nti do la tnijoctoire en un point quelconque. l»i<». tïuree du trajet ; vitesse. La durée du trajet depuis

'- ml (b> départ jusqu'à une dislance x est donnée par

'.r-f'-sciiin

270 SECTION Vï.

Pour la déterminer, soit (Fig. 26) OP la ligne de projection, faisant avec Thorizontale OA un angle ^/Prenez OC égal à la vitesse V exprimée par le chemin parcouru dans une seconde à l'échelle des abscisses; par le point C abaissez la verticale CD; OD sera Vcos^ ou V,. A partir du point 0 sur une ligne quelconque OG, sur la verticale par exemple , prenez OK = 1 à une échelle convenable pour représenter Tunité de temps; prenez ensuite OL=Q(a;, V), l'unité de ces valeurs étant prise à la même échelle que celle du temps ; tirez DL. Par le point F à la distance x menez à cette ligne une parallèle ; elle coupera OG en T, OT représentera la durée du trajet; car on a