OU 4 OD ^OM

d'où

OD Vcos(p

OK' 5{x,V)

r>st la projection horizontale de la vitesse. Si par le point Oon a tracé (159) la ligne OQ Taisant avec OB un angle 1 r,;al à rindinaison do la trajectoire à la dislance F, et que par le point M on élève la perpendiculaire MU, OU

OM

5^ra égal à ^^, et par conséquent égal à v. La courbe

qui passerait par les divers points déterminés comme U i^Tz la courbe polaire des vitesses.

t)a peut exécuter les tracés des durées et des vitesses aiec ceux des trajectoires et des inclinaisons, reporter sur les verticales de chaque point les longueurs qui représentent les durées et les vitesses et tracer des courbes par les eitrémités de ces lignes ; par leur moyen on obtiendra h.ilement, pour une distance quelconque, la position du rn jectile, la direction du mouvement, le temps écoulé et ij vitesse. La grandeur des échelles pourra varier suivant Irrs données» retendue que Ton doit considérer, et le de- ;Té de précision qu*on veut obtenir. L'échelle de O'^OOl [ j\ir un métré pour les distances horizontales et les vit'-ve5, 0^100 pour Funité des valeurs de i^, d, (D, t), et **^ ^Xâ) pour une seconde conviendront dans le plus grand o< mbre des cas. On aura besoin aussi avec les grandes Mt'^ses de construire la trajectoire avec des ordonnées dn.plifiées, dans le rapport de 5 à 1 , par exemple.

ICI. Courbes des valeurs des fonclimis ifb, d, G^, t). i'a.'îs les tracés qui ont été indiqués, on a eu besoin d'ex« pimer par des longueurs de lignes les valeurs des foncu.Qs de lê^j d, (D, O qui sont données par les tables. On :• Ji éviter les calculs numériques et faciliter les opéra- - n^ graphiques en construisant une fois pour toutes les ' jrbes qui représentent ces fonctions.

(Hi Fa fait (Fig. 27) à Téchelle de 0"" 100 pour une '!. u^ ; on a pris » sur une verticale , les valeurs de

Vo=^— des labiés, pour abscisses; par chaque point de

division, 0,05, 0,10, 0,15,... on a mené des perpendi* culaires (qui sont ici parallèles au bas du cadre ei horizontales) ; sur chacune de ces lignes et à partir de la verlicale on a pris une longueur égale à la valeur correspondante de •«ft»(x, V) que donne la table numérique XH,

pourz= - = 0,05; et, par les points qui limitent les Ion-

gueurs, on a fait passer une courbe ; elle est intitulée z = 0,05. On a opéré de même pour z = 0,10 , pour z =. 0,15,... etc.

Chacune de ces courbes représente aussi les valeurs de 5 (a?, V) pour les valeurs de z' correspondantes des tables. Quant à la correction qui se rapporte & ces dernières valeurs^ elle est toujours très-faible dans les limites des applications des tracés, et il a sufli de la construire pour quelques-unes des valeurs de 2, telles que 2=0,50, z = 0,75, 2 = 1 ,00, en prenant lés diverses valeurs de Vo pour abscisses. En les traçant du même côté que les valeurs de ifo(a:, V) et en remarquant que la correction est négative, on verra qu'une seule ouverture de compas donnera directement les valeurs de d(a;, V). Lorsque la valeur de z proposée ne sera pas Tune des valeurs exactes des courbes , on estimera la différence entre les deux courbes voisines, soit à vue soit par un autre moyen plus précis.

Lorsque, dans le cas du tracé d*une trajectoire, on sera maître du choix des distances , on les prendra de façop

que les diverses valeurs de - soient celles des courbes «

alors une ligne tracée par le point dont l'abscisse est la

valeur proposée de Vo= -^, i)arallèlement aux ordonnées.

•l nn^ra immédiatement par son intersection avec les

«!.\»T<»^s courbes z z= 0,05, z =z 0,10 les valeurs de

#. r,V) correspondantes; il n'y aura qu'à les porter sur U i*Miille du (racé de la trajectoire.

LvEMPLC. Si l'on doit tracer la trajectoire d'un boulet de 24 i;. .• avfc une vitesse initiale de 500™-». on aura Vo = l,15; î' f. ds du bouM (fiant 12^010, son diamètre 0»"1485, on aura

- = lô'iO"! : par conséquent, pour - = 0.05. - = 0.10.

1= 0.15.... on aura respectivenaent x = 63"»40, 150"91,

1 ••>r>|.... fi Ton trouvera sur l'horizontalp. qui passe par la di- • «.0 V« = 1 .15. toutes les longueurs ifi>(x, V) correspondantes 2.1 iji^unces de x, qu'on vient d'indiquer: il sera très-facile de

* n; j "rter sur le dessin pour construire la trajectoire. Il sera •.. Tîi'til tn^s-facile de traduire ces longueurs en nombres, en ' . ,jibt sur la ri[;ure 5 une règle divisée.

L*rv«^up la valeur de Vo ne tombera pas sur un des points de : ^.-ci de la verticale, on y indiquera ce point, et. par ce point, on ' Ta une tiorizontale au crayon ; celle-ci. par ses intersections i-r iw fourbes z = 0.05. z = 0,10. 2 = 0.15. déterminera

* i-r^ut-urs de ifc(j*,V) pour x=0.05. x = 0.10, «=0,15...

( »n obtiendra de la même manière les valeurs de .3(^, V) ; .*• ^ corre>pondent à des valeurs diflërentes de x.

U-< cuurbes des valeurs de t)(x,V) construites de la : \:\** manière, donneront également les valeurs de : r,\)^ et serviront à la détermination graphique des vi- : «w-s du projectile et des durées du trajet.

Aim d'éviter la transformation des valeurs des vitesses

' ' ff'WKS de -, on pourrait écrire ces vitesses sur la ligne

- al»-cis$05, aux points correspondants , pour la valeur

* jt/-e J<» r.

il «^rail p^yOïlement facile d'éviter la transformation des

valeurs de a; en - , en écrivant à côté des valeurs de - de

chaque courbe la valeur de x qui y correspond pour chacune des espèces de projectiles auxquels on doit en faire l'application.

On faciliterait de même la réduction des vitesses V en hauteurs dues à ces vitesses au moyen d'une parabole tracée avec ces valeurs pour ordonnées. Avec des précautions convenables pour éviter Taltération des dimensions du tracé de ces courbes , on obtiendra une exactitude très-sufBsante pour les applications ordinaires.

On peut aussi déterminer par des tracés les valeurs de e*, F' (2), F (2), et traduire ainsi en courbes les tables numériques que nous avons calculées; mais cela n'est pas nécessaire.

Solatioii graphique de divers problème* de iMdIstiqve.

162. Solution graphique de divers problèmes de balistique. On peut par des tracés très -simples résoudre la plupart des problèmes de balistique.

Âfm d'éviter la répétition de plusieurs constructions élémentaires, nous les rappellerons en commençant.

Soient OA une horizontale (Fig. 28), OP une ligne de projection faisant un angle 9 avec OA; soit M un point quelconque dont les coordonnées sont OC = a et MC = 6, et soit OD une dislance quelconque égale kx; si du point D on abaisse sur OP une perpendiculaire DF, et du point F une perpendiculaire FG sur OA , on aura

OF =: flCCOS^ Ot OG =: JCCOS^

et réciproquement