OF ^ OG
X = et a; =
Si Ton joint 0 et M par une ligne, elle coupera la verticale DI en II, on aura
- = tangMOG = tange, DI = ictang^, a
DH^xtangf, IH = a:(tang^~ lange)
ti réciproquement
IH
tang? — tangi
Dans les solutions qu'on va donner, on déterminera K-^ valeurs des fonctions de afb(ic, V) et S{x,\) comme on 1*3 dit précédemment; mais dans le cas où la vitesse sera I in< onnue, on devra supposer que Ton a une valeur appr M:l]»*e de la projection horizontale de cette vitesse qui f-nnetle de déterminer les fondions ifc(.r, V) et 5(x, \), U solution ne serait rigoureuse que dans le cas où Ton r» [Tr^enlerait la résistance par un seul terme propor- (1 nnel au carré de la vitesse : mais comme c'est particuwremenl au tir à de petites vitesses que les solutions ;ni[>hiques dont nous parlons sont applicables, une petite ::l*ffeoce sur la vitesse n'aura .qu'une influence trésf':[*!c sur la valeur de iA>(jr,V); on pourra d'ailleurs i- «ijours déterminer celle-ci par une première approxima- *i n. Il eo est de même, mais à un degré d'importance t ut i fait négligeable , de la valeur de f qui entre dans
ifui. Dêiermvwr l'angle de projection sur un plan hon:.,nial. Étant données la vitesse initiale V et la portée \ vur an plan horizontal passant par le point de départ , '.^Kimincr l'angle de projection ^.
L'angle de projection est donné par la formule suivante dans laquelle h est la hauteur due à la vitesse V
sin2^ = ^l[î,(X,V).
Pour déterminer l'angle de projection , soient (Fig. 29) 0 le point de départ, OA l'horizontale, OB la verticale; du point 0 comme centre, avec un rayon OK = i, tracez un arc de cercle, prenez OL =ift,(a;, V), 0H = 2/i, OD = X : lirez HL et par le point D menez une parallèle à HL. Par le point d'intersection G de cette parallèle avec la verticale, menez Thorizonlale CM qui coupera en M le cercle du rayon 1,00; l'angle MON sera égal à 2?, et la ligne OP qui le divisera en deux parties égales sera U ligne de projection, En effet, on a
OH OL ÔD""ÔG'
donc
OC ou sinMON = ^ilb(x,V), MON = 2t> et POA=!,?.
La seconde intersection M' de l'horizontale CM et de l'arc de cercle donne pour sinOM et OP une seconde solution , mais elle appartient aux angles plus grands que 45^, et n'est pas applicable au cas que nous considérons.
Si dans la construction 2A est trop grand, prenez 011 = /» ou OH = 7/1, et par compensalion prenez OK = 2,00 ou OK =r 4,00; on augmentera ainsi rcxaclitude dans la détermination de ^.
Si l'angle de projection devait être très-petit, on aurait plus de précision par le procédé suivant.
Partant de l'équation 2/isin2^ = Xaft>(aî,V), soit OA (Fig. 30) l'horizontale, OD=X, 0H=2/i. Sur la verticale OB, prenez OK = 1 et OL = '^(x^ V), tracez KD el par le
|M>int L menez à KD une parallèle qui coupera OÂ en F; <*F ^cra égal à Xifl>(:z:, Y) ; menez à OA une parallèle à une (!i^tance égale à OF, et décrivez un arc de cercle du point (^ comme centre avec un rayon OU; joignez le point d'in- Ur^t^clioD M au point 0 et divisez l'arc MH en deux parties ''v.ilc> par la ligne OP ; OP sera la ligne de projection ; • ar M0Xs^Jn2P0A a pour mesure MN qui est égal à
UA. Déterminer V angle de projection du projectile qui 'lit passer par un point donné. Étant donnée la vitesse iri.lialc V, on peut déterminer Fangle de projection d'un |r- j»»riile qui doit passer par un point donné.
>i M (Fig. «il) est le point donné, h la hauteur duc à U \il»*>se V, et que a soit la distance horizontale OC et .'. b distance verlicale MC du point M au point de départ, I »nj:le cherché sera donné par les formules
laiifcrv = -(/!' ±:V//i'(/»' — ^) — ^-^)
îjis le>nuelle> on a fait h' = .
* lll,(«,V)
F*ar le point M élevez la verlicale CB = /i , et par le
l'int D milieu de OC la verticale DF. A partir du point
•. ^ur une ligne quelconque, prenez CK = 1,00 et
I L — ift,(r, V) , lirez LB et par le point K menez à celle
:.i- une pnrallêle ; celle-ci coupera la verlicale en G;
1 «Il I
• 'i ^e^3 égal à -- ou ou /i'. Sur CG comme
liwMro, décrivez un demi-cercle; puis, par le point G •■•i.iuc centre 9 avec GH pour rayon, tracez un arc do
278 SECTION vr.
cercle, il coupera DF en deux points I, V; lirez 01 el OF; vous aurez les deux lignes de projection cherchées.
En effet, puisque GC = À', et que CM = 6, on a GM = h' — 6, et GH ou ses égales GI et GF égales à
V/A'(/i' — 6). Si du point G on abaisse sur DF la perpendiculaire GJ on aura GJ = {a, d'où IJ = l'J =
Vh{h — b) — ja% el comme DJ=i A', on aura
Dl et
= h'--\/h\h' — 6)— ia%
DI' = h' + y h' {h' — 6) - 7 a» ;
ce seront les deux valeurs de ^alang^; or, AD est égal à {a; donc les deux lignes 01 et 01' sont les deux lignes de projection cherchées.
Si le cercle tracé avec le rayon GH devenait langent à CF il n'y aurait qu'une seule solution. Si le cercle ne coupait pas cette ligne, le problème serait impossible.
On remarquera que, comme dans le cas précédent (163), la ligne de projection la moins élevée doit être seule admise (93).
Lorsque le but sera peu élevé au-dessus de l'horizon, on pourra, pour plus de simplicité, et sans erreur appréciable (103), opérer relativement à la ligne qui va au but, comme si elle était horizontale (163).
1 65. Vitesse initiale. — Le but étant à hauteur du poiiU de départ. La distance du but et la ligne de projection étant données, déterminer la vitesse initiale.
Si le but est & hauteur de la bouche à feu, on aura
2/i = -T^lft,(a:,V).
sm2^ '
On obtiendra 2A par le tracé qui est indiqué pour trouver
i'jn^'le de projection (16â), mais en opérant dans l'ordre inverse, ainsi qu'il suit.
Soient (Fig. 29) OD la portée X, et OP la ligne de projn (ion ; faites Tangle MOA double de POÂ ; du point 0 ccrnme centre avec un rayon égal à l'unité, décrivez un dp- de cercle ; par le point M où cet arc coupe la ligne 'i\l, menez une horizontale; elle coupera la verticale OB • n C; joignez CD; sur OB portez OL = ifc(x, V); par le r int L menez à CD une parallèle ; elle coupera en H l'honz.>ntale OA; OH sera égal à 2A; de là on déduira V.
On opérerait de même par le second procédé.
1C6. Le but n'étant pas à hauteur du point de départ. \ le but n'est pas à hauteur du point de départ 0, soient M ce point (Fig. 32), OA l'horizonlale, OB la verticale, >1' la ligne de projection; lirez OM; appelons • l'angle M(L\ sous lequel est vu le but, a et 6 étant les coordon-
.".s AN et MN du point M; on a tangt = -.
n'.iprcs réquation de la trajectoire et la condition que :' projectile passe par le point M; on aura
6 = atang^ — ^ ifi,(jr, V),
: '1 Ton tire
^ "^ 4(tang* — tongOcos*"^'*^'^'^'^'
'. {or d«'s transformations déjà indiquées (16 et 112),
«tfc(jC, V) C08f 1
4 *8in(^ — f)'co8f*
Ir. nri OD = :0N = \a, OK = i ,00, OL = i«,(x, \) ; *'i KD, et par le point L menez à cette ligne une parallèle;
' -Cl coupera OA en F; on aura 0F = ; sur
OB prenez OG = OF, et par le point G menez à OM une parallèle qui coupera OP en I ; par le point I élevez une perpendiculaire à OP, elle coupera OA en II ; OH sera la valeur de h.
En^effet, dans le triangle OGI, on aura
OG sinOIG Ôr"~8inOGr
Or, OIG = lOM = (^ — 0, et sinOGI = sinMOB = cosMOA
OGcosB 01
r= cose ; donc 01 = -, et comme OH = — el
sm(<P — t) cosç
que OG nr , il s ensuit que
^„ aift)(a;,V) C0S8
un = —
4 ' sin(«?> — t).cos9'
et par conséquent que OH est la valeur cherchée de h. Si le but esl peu élevé au-dessus du point de départ, on pourra, sans erreur appréciable (103), opérer avec plus de facilité relativement à la ligne qui va au but comme si elle était horizontale (164-).
167. Déterminer l'angle et la vitesse de projection d'un projectile qui doit passer par deux points- donnés.
Soient (Fig. 33) 0 le point de départ, OA rhorizontale, OB la verticale, M et M' les deux poinis donnés, et dont les dislances horizontales el verticales sont ON = a et MN = 6 pour le premier point, aN = a' et M'N' = 1/ pour le second ; l'angle de projection e a pour expression (94, éq. 14-)
a'ift,(a',V)^ — aift,(a,V)^ *''"^* ~ aife(a,V)-a'aft>(a',V) '
TRICÊ DES TBAJKTOIRES. 281
la valeur de h est (94, éq. 15), en rappelant que T=^hy
a'ifc(a',V) — aiJb(a,V)
pour déterminer tang^, sur OB prenez OK = 1 ,00, OL = -^(a, V), OL' = ^(o*, V); lirez KN, et, par le point L menez à cette ligne une parallèle qui coupera Thorizoniale en n et donnera On = ata>(a, V); opérant de n.^nie pour N' on aura On! = a'ift>(a',V). Par le point n ^l^iyez une perpendiculaire jusqu'à la rencontre de OH' au
(^jîat G, on aura Gn = On-, = ai&(a, Y) -. Par le point
n' menez one verticale jusqu'à la rencontre au point G' de
oJI prolongée, on aura Gn' = On'- = a'i>ii(a', V)-, joi-
Qt a
;nez GG' el par le point 0 menez à celte ligne une parai* l^le, ce sera la ligne de projection cherchée.
En effet , si par le point G on mène Thorizontale GQ, 00 aura
•■^^^^"GQ " On' — O» "• o'lfi>(a\V)-aifi,(a,V) *
Poor déterminer h prenez GR = ^GQ
(-.•rtAz-le de G en S, sur le prolongement de nG , et par \r foiot s menez une parallèle à OG jusqu'à sn rencontre ^er OH en T; par le point T menez une verticale qui : 'U[»era OP en U, et par ce point menez une perpendi- ' . jire 3 OP; elle coupera rhorizontale OA en H ; OH sera U tal#*ur cherchée de h.
Eo effet, te verticale TU coupant OH* en T et OA en /,
on aura
T< = Ot- et Vt^Ot-;',
retranchant membre à membre et observant que T( — VI = IT = iGS = i(On' — On), on aura
C'est la valeur de /tcos'^ ; et puisque POA =. 9, on aura 0U = Acos9 et OH=:A.
Si GQ était petit, on opérerait avec GQ au lieu de prendre jGQ, et on obtiendrait hh dont on prendrait ensuite le quart.
Ayant trouvé l'angle de projection on pourra aussi opérer la construclion comme on Ta indiqué (1 66) pour faire passer le projectile par le point M ou par le point M'.
168. Déterminer V angle et la vitesse de projection d'un projectile qui doit passer par un point donné et sous une inclinaison déterminée.
Soient 0 (Fig. 34) le point de départ, OA rhorizontale, OB la verticale, M le point donné, et MG la direction du projectile. Si Ton nomme a la distance horizontale ON, t l'angle MOA d'élévation du but, et 0 l'inclinaison de MC» qui dans la figure 34 est au-dessous de Thorizontale et qui donnerait 6 négatif, on aura l'angle cherché p et la hauteur h due à la vitesse de projection V par les expressions suivantes (95, éq. 19 et 20):
2fli)(a, V)tangt — aife(a, V)tangO tani?^- 2aô(a,V)-aift,(a,V)
j^__2a3(a,V) — ailb(fl,V) 4 (tang ■: — tang 8) ces* 9
Sur la verticale OB, prenez OK = 1,00, OL = i(W(a,V)
TBACÉ DSS TRAJECTOIRES. 283
et 0L'= d(o, V); par le point M menez la verlicale MN; joi^niet KN ; par les points L et V menez deux parallèles a celle ligne, elles couperont l'horizontale OA en deux pcinUf4 etn'; on aura On=ai&(a,V) et On'=a${a^\); prenez m'X' = On', on aura ON' = 2d(a, V). Par le point n menez une verticale qui rencontre en G la ligne menée par le point 0 parallèlement à MC ; par le point N' élevez une verticale qui rencontre en G' le prolongement de U)l ; joignez GG' et par le point 0 menez à GG' la panillrle OP; ce sera la ligne de projection cherchée.
£o effet , d*après ia construction , on aura G'N' =: ^')«ci,V)tangt, nG = aiA»(a,V)tang9. Si l'on remarque que linclinaisoa est au-dessous de l'horizon , dans la figure , quA 9 est négatif dans la valeur de tangd, et que par crnséquent le second terme du numérateur s'ajoute au p^mier, on verra que G'N' + Gn ou G'Q est le numérateur J*^ la valear de tangS, et que GQ ou nN' qui est égal à i'i^^a, V)— *ail^(ay V)y en est le dénominateur; donc
r^= langf , C'GQ = ^, donc OP est la ligne de projec*
u Q cherchée.
L*expressioD de la valeur de h est do même forme que ^05 le problème précédent (167) ; on l'obtiendra par une oDosIniclion analogue. Pour cela, prenez GR^jGQ 1- |[ii5(a,V) — aiA»(a,V)]; portez cette longueur de G n S sur le prolongement de Gn, et par le point S ntenez .'«* parallèle à OG jusqu'à sa rencontre avec Ott en T; ; sT le point T menez une verticale qui coupei^a OP en U, M par ce point une perpendiculaire à OP, qui coupera l'ho- :ijùiz\e OA en II, OH sera la valeur cherchée de h.
U dt*moostration étant la même que pour le problème "' . nient, nous ne la répétons pas.
< »n pourra , suivant les cas , prendre le rayon GR égal é lyj ou â sa moitié, et obtenir pour OH , 4Â ou SA , et
en prendre alors le quart ou la moilié. On pourra aussi, après avoir déterminé Tangle de projection, continuer la construction comme pour faire passer la trajectoire par le point M.
169. Observations sur le rapport des écJiéUes dans les tracés. Dans les deux derniers problèmes on peut obtenir plus de précision dans le tracé, particulièrement lorsque les angles de projection doivent être petits, en prenant les ordonnées à une échelle plus grande que les abscisses, et en déterminant les inclinaisons par des tangentes mesurées à l'échelle des hauteurs amplifiées. L'inspection des expressions qui donnent les valeurs* de h et de tango fait voir que les relations ne sont pas changées. Il n'y a de différence qu'à partir de la verticale TU. Alors pour diviser le résultat par cos> , le point U doit être pris sur la ligne de projection réelle, et la perpendiculaire UH élevée par ce point sur cette ligne. Cette double observation s'applique à plusieurs des problèmes précédents.
170. Portées, durées, vitesses. Lorsque Ton devra déterminer la portée d'un projectile sur une horizontale ou sur une ligne inclinée , on devra déterminer, au moyen de la vitesse initiale et de l'angle de projection et par les moyens qui ont été donnés (156 à 158), plusieurs points rapprochés, les uns au-dessus, les autres au-dessous de la ligne, puis faire passer une courbe par ces points ; l'intersection de la courbe et de la ligne donnera la position et la distance du point cherché.
Dans les divers problèmes, on pourra déterminer l'in-r clinaison de la trajectoire, la durée du trajet ou la vitesse du projectile, par les procédés qui ont été indiqués.
MMÊM MB MJL PÉKËTBATION DES PBOJBCTILBS
MU ui HUioz BiniTâiti.
171. Considérations générales. La connaissance de Tac* tioo destructive des projecliles lancés par les boucher à r»'U est d'une très-grande importance. Les effets produits» ti en particulier l'étendue des pénétrations, dépendent de U nature des projectiles, de leur forme et de leur poids, 'e leur vitesse initiale et de la distance du but. Il est donc D^rcessaire , pour les apprécier, de tenir compte de ces circonstances.
Cette question a dès longtemps attiré l'attention des sa- «^ot5 les plus distingués, tels que Jean Bernouilli, Poleni, b'ùnivesande , Musschenbrock, Robins, Ëuler, Camus. Mats , des faits épars ou des expériences peu étendues sur de petits projectiles , n'avaient pas jusqu'à ces derniers temp<^ fourni les éléments nécessaires pour traiter la queslii.-o d'une manière satisfaisante et pour arriver à des fortnuW applicables aux divers cas de la pratique, lorsque, pr les ordres de N. le Ministre de la guerre, des expé«> heores nombreuses furent à cet effet exécutées à Metz, en 183i et en 18^5, par la Commission des principes du tir.
Noos nous occuperons particulièrement, dans ce qui n suivre, des lois du mouvement et de la profondeur «^"^s pénétrations des projectiles dans les milieux résistants i'M on forme ordinairement les masses couvrantes à la
guerre, telles que les terres, les maçonneries et les bois, et nous en ferons précéder l'exposé de quelques considérations physiques qui nous conduiront à l'expression de la résistance '.
173. Considérations physiques. Lorsqu'un projectile spbérique pénètre dans un milieu résistant, comme de la terre, il pousse devant lui et déplace latéralement les molécules qui se trouvent sur son passage ou qui en sont voisines. Ces parties, après avoir été comprimées et entraînées d'abord, sont contraintes à glisser sur la surface arrondie du projectile; elles prennent ainsi une vitesse dont la composante latérale, prise perpendiculairement à la direction du mouvement du corps, dépend de la vitesse^ de ce corps et de l'inclinaison de la partie de sa surface contre laquelle elle glisse en surmontant le frottement.
Les molécules qui se trouvent en A (Fig. 35) à la partie antérieure , sur la direction BA suivie par le centre du projectile ou sur les parties voisines AC, ne pouvant surmonter le frottement qu'elles éprouvent, restent appliquées contre le corps ; mais les parties plus éloignées, poussées par une surface inclinée comme la tangente en ce point, glissent et entraînent les molécules voisines. Les composantes de leurs vitesses prises perpendiculairement à la direction BA du projectile, vont en s'accroissant à mesure
* Pour des considérations plus étendues et pour des résultats d'expériences plus complets, voir le rapport de M. le général Poncelet, sur un Mémoire de MM. les généraux Piobert et Morin, concernant la pénétration des projectiles, lu à TAcadémie des sciences, le 12 octobre 1835, et inséré au Spectateur Militaire du mois de novembre suivant. Voir aussi le Mémoire sur la résistance des corps solides ou mous à la pénétration des projectiles, par WA. les généraux Piobert, Morin et Didion, inséré au Mémorial d'Artillerie, no 4; — Premier et deuxième rapport de la Commission des principes du tir ; — Mémoire de M. le colonel Augoyat, inséré au Mémorial di^énic, n® 7.
LOIS DE LA PÉNliTBATION DES PROJECTILES. 287
qu Viles s*éIoignent du point C ; et , lorsqu'elles sont ar* rÎTécs à un point D, où le rapport de la composante DE i la vitesse du projectile est égal à la tangente trigonométrique de Tinclinaison EDG de la surface en ce point, elles échappent à l'action du projectile avec une vitesse qui dépend ainsi de celle du mobile. En vertu de cette TJttrsse, elles entraînent les molécules plus éloignées du prujeclUe en leur communiquant une partie de la force Tive qu'elles possèdent et s'arrêtent en II, lorsque cette P.rce vive a été détruite par les résistances que présentent hy parties du milieu de plus en plus comprimées* Lorsque k projectile se sera avancé jusqu'en A', A'', A'"... et que Ni vii<*^<e sera diminuée, les distances DH', ITH", lyw... eue parcourront les molécules qui abandonnent le pro* jictile aux points IX, EK', D"'... seront de moins en moins grandes, et, le profil HHinr''... du vide se rapprochera •le plus en plus de la direction BAA'... du mouvement; ^' *) dorera jusqu'à ce que la vitesse soit devenue assez t4.ble pour que les molécules ne s'écartent pas sensiblement de la surface du projectile.
Le projectile éprouve ainsi dans son mouvement deux fcftes de résistances qui doivent être distinguées l'une de i JiQtre. La première consiste dans la cohésion du milieu, isiùs Teffort à exercer pour en séparer les diverses parties, <«.- fray»^r un passage et vaincre le frottement; elle peut tire regardée comme indépendante de la vitesse. La se- • •ode dépend de la force vive imprimée aux molécules q :i ^'éloignent du projectile avec une certaine vitesse pro- ; :rtioooelle à celle du mobile. La force vive de ces molé- «^ Jes, qui ne peut être acquise qu'aux dépens de celle da r rps, est donc proportionnelle au carré de leur vitesse.
i^tte rédislance doit encore être proportionnelle à '^ndue de la surface suivant laquelle elle s'exerce, et , d*aprés ce que nous avons dit, n'est pas néccs-
388 SECTION vil.
sairement égale à retendue d*un hémisphère , elle peut même varier durant le mouvement, c esl-à-dire avec la vitesse du projectile. Mais alors, à mesure que l'étendue de la partie du projectile qui reste en contact avec le milieu résistant a plus d'étendue, la dernière zone de la surface est moins inclinée ; il s'ensuit que la composante de la vitesse perpendiculaire à h direction du mouvement^ laquelle varie dans le même rapport que cette inclinaison, est en raison inverse de l'étendue de la surface ; il y a ainsi à peu près compensation ^ et le produit de ces deux quantités pourra être regardé comme constant. La force vive imprimée à chaque instant aux molécules du milieu résistant pourra donc être regardée comme proportionnelle à la force vive du mobile ou au carré de sa vitesse, et à une section déterminée du projectile. Celle-ci élant dans un rapport constant avec le grand cercle de la sphère, on peut la remplacer par ce dernier, et regarder les deux termes de l'expression de la résistance comme étant proportionnels à un grand cercle du projectile.
Il coi^vient d'autant mieux de considérer la résistance comme proportionnelle à un grand cercle du mobile, que, vers la fin du mouvement, alors que le terme proportion^ nel an carré de la vitesse n'a plus qu'une influence trèsfaible, le vide produit par le projectile diffère très-peu d'un cylindre ; la résistance s'exerce donc réellement suivant l'hémisphère antérieur^ et, par suite, la résistance doit être proportionnelle à la section du cylindre on au grand cercle de la sphère.
Des expériences directes ' ont prouvé d'ailleurs qu'aux petites vitesses la résistance éprouvée par le projectile était effectivement proportionnelle à la section du grand cercle du projectile.
' Premier et deuxième rapport de la Commission des principe» du tir.
17:{. Phmomènes observés. Les considéralions qui préri-.l»»nl, se Irouvenl confirmées par l'examen de la surface d»'5 projccûles après qu'ils ont pénétré dans les terres el \<sT la forme du vide qu'ils y ont formé.
Lorsqu'un projectile esl lancé avec une grande vitesse •bns les lerres, on reconnaît que des parties de la matière du milieu résistant sont restées adhérentes à la surface antérieure de ce projectile; elles offrent la forme d'un ( «ne SCC' (Figr. 35) d'autant plus obtus que la vitesse de injection est plus grande; au delà de cette partie, le pro^ i < tile est fortement sillonné suivant des plans méridiens (o^sant par la direction du mouvement; ces traces ont été farfois assez profondes pour qu'un boulet de 24 perdit en p*'nétrant dans le sable plus de 15 grammes de son poids; i. N iracrs vont ensuite en diminuant et cessent d'être sen- ^\\*\e<> ver* le grand cercle de l'héinisphcre.
L*eia'i.en du vide produit dans le milieu confirme encore ui ju>tes.-e dos considérations physiques qui précédent, lorsque, comme cela a lieu avec les terres argileuses, le ude conserve assez bien la forme (Fig. 36) qu'il a prise •V] moment du passage du projectile. En eflbt, une section fdiie par un plan perpendiculaire à la direction du mouve* n.^m (Fig. 37) parait fendillée sur une assez grande prof-odeur; les intervalles entre les fentes sont lisses et [-*nent des traces évidentes du frottement du projectile. U développement de ces parties touchées a toujours été Uv até un peu moindre que la circonférence d*un grand t^cle du projectile, excepté vers le fond du vide. Le •i^mélre des sections, qui seraient faites à différentes c.-taoces de l'orifice, vont en diminuant depuis l'entrée .'«•qo*4U fond 011 Ton retrouve le projectile (Fig. 30). La *^ tion méridienne du vide est une courbe dont la con* i'\iié e^t tournée vers l'axe, et qui, vers le fond, diflère ; u iFune ligne droite parallèle à la direction du mouve^^
290 SECTION YII.
ment; de sorte que le vide a la forme d'un cdne évasé dont le fond diffère très-peu d'un cylindre qui aurait un diamètre égal à celiii du projectile. Celle forme indique que la vitesse de projection des molécules du milieu diminue avec celle du projectile.
La réaction des terres comprimées au moment de la pénétration , altère bientôt la forme du vide et en diminue les diamètres.
Des phénomènes semblables à ceux que nous venons d'exposer se présentent également, quoique moins régulièrement, lors de la pénétration des projectiles dans d'autres milieux résistants que les terres argileuses, tek que dans la maçonnerie; dans celle-ci| la partie antérieure n'étant pas soutenue, se brise plus facilement et forme un entonnoir beaucoup plus évasé que celui de l'autre partie. L'entonnoir formé par le choc d'un boulet dans le plomb est dû aux mêmes causes que dans les terres argileuses et conserve une forme très-remarquable.
1 74. Résistance variable durant la pénétration. En supposant, comme on l'a fait, que la résistance ne dépend que de la vitesse du projectile à l'instant que l'on considère, et quelle est indépendante de la quantité dont le projectile a pénétré, on commet une petite erreur. En effet, au moment où le projectile pénètre avec une certaine vitesse, les parties du milieu résistant en contact avec lui n'étant pas encore comprimées comme elles le seraient si le projectile avait déjà traversé des couches antérieures, celui-ci éprouve réellement une résistance moindre. De plus, en comptant les profondeurs de pénétration à partir de la partie antérieure du projectile, la surface de ce projectile en contact avec le milieu dans les premiers instants étant moindre que lorsque le projectile a pénétré d'un demidiamètre ou d'une plus grande quantité, la résistance est par là encore diminuée^
uns DS L\ l'ÉNÊTRATION DES PROJECTILES. 291
Celte différence dans les résistances pourra n'avoir qu'une très-faible influence quand on comparera entre^ files des pénétrations considérables; mais elle ne sera l'Ius négligeable dans la comparaison de faibles pénétrations provenant de vitesses peu considérables. La formule qui ne tiendra pas compte de cette influence donnera par ie!a même des pénétrations trop faibles; on voit facile- Mt-nt encore que cet eflel sera d'autant plus prononcé que \ s projectiles seront d'un plus grand diamèlre; tel est [xrliculièrement le cas des obus de forts calibres animés <]•' Taibles vitesses.
175. Lais de la pénétration. Diaprés les considérations «; ji précédent, l'expression de la résistance qu'éprouve un |r»jectilc à chaque instant de son mouvement, dans un ii.iiicu comme la ieire, est proportionnelle à l'étendue J'uo grand cercle de la sphère, et elle comprend deux t rmes dont Ton est constant et dont l'autre est proport ianel au carré de la vitesse; de sorte que, en appel>nt f cette résistance, R le rayon du projectile, v sa <n^œ variable durant la pénétration, 7 le rapport de la oroooférence au diamètre, on aura
< et ^ étant deux quantités qui dépendent de la nature des " l'ii'ux et qui devront être déterminées par l'expérience : ir chacun d'eux. De cette expression, nous allons dé- ' ire los profondeurs de pénétration des projectiles lancés ;«••. diverses vitesses, et nous les comparerons ensuite -"ji profondeurs observées pour nous assurer du degré >: ''lactitode de l'expression de la résistance.
En rr>n- orvant les notations ci-dessus, soit encore P le f tis da projectile, D sa densité, V sa vitesse au moment < . il pénétre dans le milieu, e la quantité dont il a pénéu^ au moment où celle vitesse est réduite à v. Me temps • ulé et 9 la pesanteur.
292 SECTION vil.
En égalant la résistance qu'éprouve le projectile à chaque instant à la quantité de mouvement qu'il perd, on aura pour l'équation du mouvement
--/i^ = «rR'(a+^t;').
g àt 0,. ,= |, donc e„ ™Uip,ta„. «*e i ™e™L« 3V.
l'équation précédente, on aura
vdv = «pR* (a -h iSv*) de ;
d'où
P vdv
de=z^
«rRV'« + i3»''
Cette expression est facile à intégrer, et en obsen-anl qu'elle doit être prise depuis la valeur V, pour laquelle e = 0, jusqu'à v, on aura
Les logarithmes étant hyperboliques, si l'on veut avoir les logarithmes des tables dont la base est 10, Ton écrira
176. PénétraHon totale. On aura la profondeur totale de pénétration due à la vitesse V en faisant f = 0; appelant E cette pénétration et observant que pour un projectile sphérique P = t'/^R^D, on aura
Si un projectile dont le rayon est R' et la densité D', atteint le milieu résistant avec la même vitesse V, la pro-
LOIS DE LA PÉNÉTRATION DES PliOJECTlLES. 295
r^aJeur de pénétration représenté par E' sera
E7 = .^2,3026Log(i+-N').
l^ ces deux équations on tire
E RI) E* ~ R'iy '
I «sl-à-din», que bi deux projectiles sphériques pénètrent ii:i> le même milieu résistant avec des vitesses égales, les |r rHudeurs de pénétrations sont entre elles comme les |: '-Juits des calibres par les densités. Si les projectiles - ni dob boulets sphériques de même métal, D et D' sont •.iu\ et los profondeurs des pénétrations sont entre elles
• • fiime los diamètres; si les projectiles sont de diamètres •..Ht, mais de densités différentes, tels que des boulets '( (It^ obus de même calibre, les pénétrations sont entre
' ••> comme l*»s densités ou comme les poids de ces pro-
I^ins le cas du tir des boulets sphériques de fonte, la •*''»<ilé peut être regardée comme constante et représen-
• !• ir D =z 703*2*^, poids du mètre cube de la matière •'- •'-< lH>uIets; alors, en faisant
