ÜE LA PREMIÈRE ÉDITION

En composant cct ouvrage, l'auteur ii’avait pas l'intention de publier un traite complet d'analyse infînitcsimalc, qui aurait dépassé de beaucoup les limites qu'il s'était imposées. Rédigé à l'occasion du cours de calcul dilférenlicl et intégral dont il est chargé à la faculté des sciences de l’Université de Gand et distribué aux élèves depuis 1838 en feuilles autographiées , il n'embrassait d'abord que les matières indiquées au programme des examens de l'Ecole du Génie Civil , peu différent de celui de l’Ecole Polytechnique de France, que les fondateurs de nos écoles spéciales s’étaient fait un devoir de prendre pour guide et pour modèle; mais depuis, l’auteur a cru nécessaire dans l'intérêt

PRÉFACE

lies jeunes gens qui se destinent au doctorat en sciences mathématiques ou qui se proposent d'approfondir l’étude des sciences exactes, de comprendre dans son traité certaines théories jugées jusqu'ici par la plupart des auteurs comme trop abstraites ou d'une application trop restreinte pour pouvoir entrer dans le cadre de l'enseignement. De ce nombre sont l'intégration des fonctions elliptiques, le théorème de Fourier sur les intégrales doubles, l'extension de la méthode des variations aux intégrales multiples, etc. Des simplifications notables dans plusieurs de ces théories et une exposition plus élémentaire des principes fondamentaux du calcul des variations, lui ont permis de faire ces additions sans que son ouvrage perdit le caractère classique qu'il tenait à lui conserver.

De cette manière la plupart des théories importantes du calcul intégral ou des branches qui s'y rattachent, ont été passées en revue, et comme on a eu soin de disposer les matières de manière à permettre de faire des coupures sans nuire à l'cnchainement, ces additions n'ont pas rendu l'étude de ce livre plus dilTicile pour ceux qui veulent se borner aux éléments.

Le mode d’exposition du calcul infinitésimal que l'on a adopté, est celui indiqué par Landcn et Dalembcrt, et qui est fondé sur la considération des limites. Cette metbode a sur sa rivale, la méthode des infiniment petits , l'immense avantage de la rigueur et de l'exactitude qui manquent complètement à l'autre, puisque la première n'applique les règles de l'arithmétique et de l'algèbre qu'à des quantités finies et par conséquent saisissabics à l'esprit, tandis que l'autre admet gratuitement, que ces mêmes règles sont encore vraies quand on considère des quantités sans grandeur appréciable, et qui, par conséquent, échappent à nos sens et à notre intelligence.

On a donc cherché à déduire du seul principe des limites, d'une manière méthodique et uniforme, toutes les propositions

PRIÎFACi':. VII

fondamentales du calcul dilTcrenlicI ; mais l’ancienne mélliode de Leibnitz présente de trop grands avantages sous le rapport de la brièveté et de la simplicité, pour qu'on ait cru pouvoir s’abstenir de la faire connaître ; c'est pourquoi la plupart des démonstrations un peu importantes sont doubles, l'une destinée à convaincre l'esprit, et l'autre, à le soulager et à mieux se graver dans la mémoire. il arrive même quelquefois , lorsque la réduction aux limites ne présente aucune dilFiculté, que l'on s'est borné à une démonstration par les infiniment petits, à laquelle le lecteur pourra toujours rendre par la pensée la forme plus rigoureuse adoptée pour les autres démonstrations.

Indépendamment des avantages incontestables que présente sous le rapport de la brièveté , l'emploi des infiniment petits , il existe un autre motif pour ne pus s'attacher exclusivement aux limites et pour faire marcher en quelque sorte de front les deux méthodes. Le calcul intégral, sous la forme que les géomètres lui ont laissée jusqu'ici, a essentiellement pour objet la considération des quantités infiniment petites : il est donc nécessaire que l’élève se rende familières ces quantités abstraites, avant d'aborder la seconde partie du traité.

Il est vrai qu’il serait facile de faire disparaître du calcul intégral les infiniment petits ou difTérenticllcs en partant de ce théorème fondamental^ qu’une intégrale représente le produit de la valeur moyenne de ta dérivée par la différence entre les valeurs extrêmes de la variable. Cette innovation très logique aurait l’avantage d’introduire de l'uniformité dans le traité eidccomblcr la lacune que présente la théorie des limites, au passage du calcul direct infinitésimal, au calcul inverse; mais comme elle exigerait un changement total dans les dénominations cl dans les notations , sans un avantage réel autre que celui que nous venons de signaler, on a cru préférable de ne pas s'écarter des anciens errements, laissant aux géomètres qui font autorité dans la science, le soin de décider

vil!

PRÉFACE

de ropporluniti: de celle reforme cl d’en prendre l’inilialivc.

Un grand nombre de démonslralions sonl prcscnlccs sous une forme un peu abrégée cl des lecteurs trouveront peut-être que quelques développements de ealcul n'auraient pas été superflus. Ce laconisme tient à l'usage auquel ce traite était destiné avant qu’il ne reçût une publicité complète, et une expérience de seize années à laquelle il a été soumis a prouvé surabondamment que les détails de calcul qui ne sont pas indispensables, ne font que fatiguer les yeux et l’esprit et nuisent a rcnchaincment des raisonnements. Du resteon ose croire quejamais ces formes abrégées n'ont été employées là où il y avait quelque difliculté à résoudre et le but de l’auteur aura été atteint si, comme il l'espère, il n’a omis que des détails auxquels une lecture attentive pourra facilement suppléer et s’il est parvenu à rendre moins ardue cl moins pénible l’élude des hautes sciences aux jeunes gens d’élite qui se préparent à subir les épreuves difliciles du doctorat ou qui veulent embrasser les carrières du génie civil et de l’enseignement.