CHAPITRE I
I)f< foiictioiH. Fonctions algébriques et transcendantes. — RL'préscntation géométrique ries équations. Variable dé|K‘ndante et indé|)(‘ndante. Fonclioii.s inqdicius et explicites , continues et discontinues. Limite du rap|H>rt de Faceroisseincnt d’une fonction à raccroi.ssenienl de la variable. Fom*tioii dérivée. — Sigiiification géométrique d’une fonction dérivée. — Signification analytique d’une fom'tion déri%ée. — Infiniment |M*tits et infiniment grands des dilTéreuLs ordres. DifTéreiitielles. — Fonction.s croissantes et décroissantes. — Différentiation cl dérivation des fonctions. — • Uérivalion des foiielimis de fonctions. — lK*rivalion d’iine fonction de plusieurs fonctions. Dérivée parlirdle et dérivée totale. — Dérivée d’une variable par rapport à une autre variable , lorsqu’elles sont exprimée.s toutes deux en fonction d’une troisirune. — Dérivée du produit de plusieurs fonctions. — Dérivée du quotient de deux fonctions. — Calcul des dérivées. Dérivée de log x. — Dérivée de sin x, — Dérivée de x"*. — Dérivée de la foiielion exponentielle a'. — Déri\ées des fonctions trigoiiomëtriques. ~ Dérivation des (onctions cuiiipliquées. — Dérivation des fonetions imaginaires. — Dérivation des fonctions inipiicites. Éi|uatioii dérivée. — Dérivées dos ordres supérieurs des fondions explicites. — Dérivée.s succc.s.sive.s d’une fonction de foiidioii. — Dérivées successives, les deux variables étant données en fonction d’une troisième. — Dérivées siicct'ssives des fonctions implicites. Equations dérivées successives. — Différentielles successives d’uiic fonction impliciu*. — Changement de la variable indépendante.
1. Des fonctions. Fonctions algébriques et transcendantes. — Une quantité est dite fonction d'une antre quantité^ lorsqu’elle est lice u la seconde <le telle manière qn’un changement arliitruire dans la valeur de l’une enlraiiie iiécessaimnent un changement dans lu valeur de Faiilre,
CIIAPIinE I.
cl on appelle fonction, l'cxprcssioii analytique de la loi qui lie ees deux qnautitds; ainsi, dans les équations
= y==sinar, y = log(a — x),
1/ est fonction de x ou x est fonction de y, et les expressions ax’-4--ï sinx, log (a — x)
sont des fonctions de x. Si l’on avait
z = xy -^y* — a^,
le second membre et par conséquent z seraient des fonctions de x et (le y. Dans l'équnlion
ly -t- xn- f/ï — 1 = 0 ,
Z est encore fonction de x et de y puisqu’on peut concevoir celle équation résolue par rapport à z.
Parmi les quantités qui entrent dans une fonction, les unes ont une valeur fixe et invariable, quoique arbitraire, cl prennent pour celle raison le nom de constantes ; les autres n’ont pas de valeur déterminée et sont susceptibles de passer par une suite continue de grandeurs. Elles prennent pour ce motif le nom de vuriahles. On convient ordinairement d’em|)loycr les premières lettres de l’alphabet pour représenter les constantes et de réserver les dernières pour représenter les variables.
Pour indiquer une fonction d’une ou plusieurs variables x, y, z, etc., on emploie les notations F, •]<,'}>,/', F', etc. ; ainsi Fx représente une fonction de x dont la forme peut être connue ou inconnue et Fy représente une fonction composée en y de la même manière que Fx l’est en X. De même j (x, y) indique une certaine fonction de x et de y. Si i( représentait une fonction de x, rciiréscntcrail une certaine fonction de « et serait par conséipicnt une fonction de fonction de x.
Les fonctions se divisent en fonctions alyébriyues et en fonctions transcendantes; les premières sont celles où les variables ne sont liées qu’au moyen des signes indiquant les six opérations fondamentales de l’arillimélique; ainsi
|/4a*x’ — fifcx’ -I- c*
est une foiiotiun algébrique. Lei! secondes sont celles où les varisibles SC trouvent liées de toute autre manière. Une ronelion contenant des ternies de la forme a', log x, sin x, tang x est donc transcendante.
Les fonctions algébriques se divisent aussi en fonctions irrationnelles et rationnelles, suivant qu’elles eontiennent on ne contiennent pas de radical.
Les fonctions transcendantes se divisent en fonctions exponen(ief/es, logarilhmiifiies et circulaires ou triyonométrü/ues , suivant qu’elles renferment des quantités exponentielles de la forme a' ou des quantités telles que log x, ou des quantités trigonométriqiics, comme tang X, sin (a — x) etc.
2. Représentation géométrique des équations. Variable dépendante et indépendante. Fonctions implicites et explicites, continues et discontinues. — Une équation quelconque entre deux variables x, g peut, en général, être considérée comme représentant une certaine courbe dont la forme dc|)cnd essentiellement de la forme de l’équation; car /'(x, y) = 0 étant l'équation donnée, si on la conçoit résolue par rapport à y, il viendra y = fX et en donnant à x toutes les valeurs jiossibles tant positives que négatives, il est clair que l’on obtiendra pour y une suite de valeurs correspoudant à cbaque valeur attribuée à X. Considérons maintenant x el ij comme étant les deux coordonnées rectangulaires d’un point rapporté à deux axes .K et Y, et portons sur l’axe des X, à partir du point A (lig. I) toutes les valeurs AP, AF, AP"...., attribuées il x. En clévant les ordonnées PM, P'M',
P"M" .. égales aux valeurs corresjiondantcs de y, l’ensemble des
points M, M', M" constituera le plus souvent une courbe com-
posée d’une ou plusieurs brancbcs, liée intimement à l’équation f[x, y) = 0 et dont elle forme le lieu géométrique.
Cette construction par points, de la courbe, établit entre les deux variables une différence essentielle, puisque à l’une d’elles, x, on donne des valeurs arbitraires, tandis que les valeurs correspondantes de y s’obtiennent par la résolution de l'équation; c’est pourquoi on appelle x variable indépendante et y, variable dépendante. Si au lieu de résoudre l’équation par rapport à y, on la résolvait par rapporta x, les deux variables changeraient de rèle et de nom.
Dans les deux équations considérées plus haut,
/■(x, y)=-0 et y = yx,
qui dérivent l’une de l’autre et expriment par conséquent des relations identiques entre x et y , la variable dépendante y entre d’une
