a n \dn

termes contenant le facteur h h des puissances inférieures à « -♦- 1,

il faudrait que le développement de f -77-'^ contint des termes divisés

\dh''/

par et par conséquent que f 77—^ devint infini pour h = 0, ce qui ne peut arriver; car si de réqiialiun précédente üï» lire

par et par conséquent que

ct qu'on cherche ce que dev ient le second membre pour h==0, on

trouve qu’il se réduit à 5 égal .à

Comme l’indice n peut croître indéfiniment, on posera en général f(x -H /«) = fx + hf'x -t- ^

pourvu que l’on suppose illimité le nombre de lcrnics de cette série dont la loi est cvidentc. Elle ne sera limitée que si la fonction fx est telle que les dérivées successives sont toutes nulles à partir d’un certain rang, ce qui évidemment n’aura lieu que si fx est de la forme fijc" -F- ftj” -4- etc , m et n étant des nombres entiers et positifs.

Celle formule est connue sous le nom de formule de Taylor. En représentant fx par y, 011 la met aussi sous la forme

, , , , du /i' t/*v /i’ d^y

'' 'J fij. 1.2 dx’ 1.2.0 dx*

fiO

CIIAPITHE II.

Si l’on admet à priori la possibilité de développer f{x -h h) sui%’ant les puissances entières et positives de /«, on démontre la formule de Tavlor d’une manière très-simple par la méthode des coefficients indctcrinincs; supposons en clTct f{x + h) développé de cette manière

f{x -t- h) = A Bh + Ch* -4- Dh^ -4- etc.

A, B, C, D étant des coefficients inconnus et indépendants de h.

Cette équation devant subsister pour toute valeur de A , les dérivées des deux membres par rapport è h, seront aussi égales; on a donc cette suite d’égalités , en se rappelant la dérivée trouvée au numéro précédent pour f{x -4- h) par rapport h h,

f{x -4- A) = ^ + Bh ■+■ Ch* -4- Dli* -4- etc. f'{x -4- A) = Zf -4- 2C/i -4- ôDh* -4- iEh* -4- etc. f"{x -4- A) = 2C -4- 2.3DA -4- ÔAEh* -4- etc. f"'[x -4- A) = 1.2.3Z) -4- ‘i.oAEh -4- etc.

Ces égalités doivent être vériliées pour toute valeur de A, et pour A = 0 , on trouve

A = fx, B = f X, C = — f X, D= ^ ^ >

lin substituant ces valeurs dans le développement de f(x A), on obtient la formule de Taylor.

Appliquons cette formule à quelques exemples. Supposons

fx = x”;

il vient

fx = x’', f'x = inx"‘~', f'‘x m{iit —

et par conséquent ,

x"'’A’ -4- etc.

CALCUL DIFFunEMIEL.

On voit par là, que la formule du biiiùme de Newton, que nous n'avons supposée au N° 15 déiiiunlréu que pour le cas d’un exposant entier et positif, est encore vraie pour un exposant quelconque.

Pour la fonction -> il vient

etc.

et l’on trouve en substituant,

etc.

Il est visible qu’on serait arrivé au même résultat en clTectuant directement la division de 1 par x + h.

Pour sin x, on a

fx = sin X, px <= cos x, f'x = — sin x, f"'x = — cos x, etc. et par conséquent

sin {x + h) — sin x

h ens X A’ A’

s.nx-^— eosx

etc.

On trouve de même

, A sin X A* A’

cos (X -+- A) = cos X ; — - eos x -+- . ^ sin x -F- etc.

Il est à remarquer que si dans sin x, sin A, sin (x A), les arcs de cercle x. A, x -h h peuvent être exprimés en degrés, minutes et secondes, cependant les arcs x et A placés en dehors des lignes trigonométriques sont toujours des nombres abstraits, représentant les longueurs de ces mêmes arcs comptés sur la circonférence qui a l’unité

pour rayon et par conséquent estimés à raison de pour chaque

degré.

La fonction a' donne

/x — a', /‘'x = «'loga, f"x = a'\og*a, /'"'x — a' log’a, etc.

d’où il résulte que

A*log*a

A^ log ’o

fl* r

etc.

CIIAPITRE II.

Cl2

Si on suppose

y = /x = Log X,

on trouve

r^ = -I'Ogc, /”x = — — Loge, /■"'x = — Log e, de.

cl par conséquent

Log (X A) = Log X -H ^ - - - - -H de. j Log e.

3t. Formule de Maclaurin. — La formule de Taylor cuiidiiil au dcvcloppemenl d’une fonclion fx suivant les puissances ascendantes de sa variable; en effet, si on fait x égal à zéro cl qu’on représente

par /b, f'o, p’o ce que deviennent fx, fx, f'x quand on y

fait X nul, et qu’ensuilc on remplace A par x, il vient

fx — fo xf'o -4- ^ f'o -4- f'o -4- etc.

Celle formule est celle de Maclaurtu. Il est visible qu’elle donne le

développement cherché, caries coefficients /"o, f'o, f'o sont des

constantes que l’on pourra déterminer dans chaque cas. Il résulte de cette équation, qu’une fonction peut en général être développée suivant les puissances entière$ et positives de la variable; mais coiniiie on n’obtient ce développement qu’en donnant à la variable i la valeur parliciilicre zéro, il n’a pas le même degré de généralité que le développement de Taylor. Aussi verrons-nous plus loin que la série de Maclaurin est souvent en défaut.

La série de Maclaurin se met aussi sous une autre forme. Si dans la série de Taylor on remplace x par a et A par x — a, en désignant par fd, fa ce que deviennent fx, f'x , on trouve le dévelop-

pement

fx = fa fa

-4- etc.

qui sert à développer fx suivant les puissaneci entières et positives de X — a. Il doit être employé toutes les fois que fx est tel que l’une de ses dérivées devient infinie pour x = 0. Il est à remarquer que la présence d’une constante a d’une valeur arbitraire dans le second nicm-

bre de celle dquation n’cst qu’apparente, car si on y ciTcctuait tous les calculs indiqués, celte quantité disparaitrail. Cela résulte d'ailleurs de la remarque que le premier membre étant indépendant de a, celte lettre doit disparaître du second qui est identique au premier.

Pour première application, considérons la fonction ^a" i" que nous mettrons sous la forme

On trouve

1 îr: 1 1 — n

/x=al/l-L-i, /‘'x = o -(!-♦- x) • , f"x = a (1-*-*) " , etc.

et par conséquent,

H nu n n n

La formule de Maclauriii donne donc

^ O" n tt’" 4.2.U* a*" 4.2.3.»’ J

On trouvera pour les fonctions arc sin x, are lang x, sin x, cos x, les développements suivants :

X* log *0

x’iog’a

ire tang x =-

^ “îT ”

- — etc.

cos X = 1

log (4 -L- x)