OU
d^Z db dxdij dy
d’où l’on lire
dp = ^3x -I- dfl -H 2 (x — «) «’c -t- 3(x — a)* de -t- •
cl en remplaçant db, de.... par leur valeur indiquée au numéro précédent,
dp =‘-j^dx -t- dy + ta' + 2(x — a)u" -i- 3{x — a)*M"'
Comme on a posé
A = fd -A- (l — «)&>' -I- (i — a)*ca”....,
il vient en dérivant par rapport à x et remarquant que u, fo', w". sont, par leur nature, indépendants de x.
dA
di
La variation de p devient ainsi
, dp , dp . d\ dx dy dx
On trouve de même pour dp,.
' dx dy ' dy ' ' dy
et en remplaçant 28o) d—
dV) d«' . JJ
dea
, d»), , dp,, dra dfa dta"
' ' dx dÿ dy ' ‘ dy ' ^ dy
CALCUL DtS VAIIIATIO.IiS.
ri'.ij
OU pliilôt en tenant compte de la valeur de A,
, dp, . dp, . d^
Une marelle semlilable conduit aux valeurs suivantes :
n dq , d*\
' dx dij dx-
, dq, , dq, , d*A
oq, = o'x ^ — — ,
, dq„ dq„ , d*A
" dx dy •’ dy*
Ces équations donnent aussi
A = o'j — pdx — Pi^yt
— = op — f/Jx — q,^y, d*^
=o',ro'x-r,o'y,
285. Variation d'une fonction contenant deux variables indépendantes, une variable dépendante et ses dérivées partielles. — Représentons par f{x, y, z, p, p„ q, q„ q,„ r ) une fonction de forme
déterminée, contenant les deux variables indépendantes i et y, la variable dépendante z fonction indéterminée de (x, y) et les dérivées partielles de cette fonction indéterminée. Puisque sa
différentielle totale est
, df Tx'^^-^Uy
iif , 'If ,
59G CIIAPITIIE
il est visililc que sa variation sera
df .
-~üx-k- OH
ilx il;j
df... df^
dz
dp
dp,
et en rcmplaennl iz, op, op„ âfj,,... par leurs valeurs trouvées plus haut, eette variation devient
\dx dz dx dp dx dp, dx j | f/y dz dij dp dy j '
,^(l^ d£dx dfd^ df d*\ dz dp dx dp, dy dy dx* dy, dxdy
lùi remarquant que les deux parenthèses sont les dérivées totales, rune par rajfport à i et l’autre j»ar rapport à y, de la fonction f.
dérivées qu’il eonvient de désigner par — df et -j^df, celte variation
prend la forme
^’J ,r df df ds df dx df d*X dx dy dz dp dx dp, dy dy dx*
Des intégrations successivci par parties transforment les termes contenant les dérivées partielles de A, eomme il suit, en eonlinuant à
représenter par -j~df, la dérivée de f ptu' rapport à x,
la flérivéc seconde de /'par rapport à x et par rapport à y, etc.,
df dx
dp dx
dx \
dx \
dp)
df dl^
=-ld(
dp, dy
<<<pt J
jlpj
dfd*X
l'df dx'
\ dx
dy dx*
dx '
\jly dx^
/ dx dx \dff/
'df f/A>
f±d'IL)^
dx \
^dy dxj
’ dx '
\^dx dy)
