CHAPITRE XX

dldij

( dq, dx ^ dr, r/y ^ dr„ i/x* ^ ds, j

dx I dr, dx ds, dtj ds„ dx- dt, ij

^ La 'JL ^LaÉL^La^.:L^....\

280. Variation d'une intégrale définie double. — Proposons-nous enfin de trouver la variation d’une intégrale définie double J'f f(x, g,

z,]),p„q )dxdg prise entre les limites x*, i" et y', y" fixes ou

variables. Celte variation est visiblement

ff(f + ^f) </ (x -4- (/ (y -4- o'y) — // fdxdy

qu'on peut écrire ainsi :

ffif-*- «T)

el-^ sont les dérivées partielles de ox et de oy, ear dans l’intégrale double donnée, dx et rfy étant les diiïérenticlles de x et de y, en supposant res])cctivemcnl y et x eonstants, il en doit être de inéme de rf(x -4- Sx) et de rf(y -4- Sg) et par conséquent, de rfox et dSg. En elTcctuant les multiplications et négligeant les infiniment petits des ordres supérieurs, cette variation se réduit à

f J j dfdxdg -4- f. [dxd-hj -4- dgdSx) j.

Si l'on remplace 3f par sa valeur trouvée au numéro préeédenl et mise sous la forme

^df -^-^df -h i.u -r- ~ du dV ■

en remarquant que l’on a

,.dSx

dxdg

dSy

rfMP,

CALCUL DES VAIIIATIOSS.

îüt'.»

la variation devient

JjA Jfrfady -,- \\^ylVdzdy -A- Jj^-rfMFrfxA/y.

Coniine dx et dy sont indépendants, la première dilTérenticlle et la (pintricine s'intégrent immédiatement par rapport i x, y restant qiieleon(]uc, la seconde et la cinquiètne par rajipurt à y et la sixième qui est la dilTcrcnticIle totale de ir, a pour intégrale W; cette expression do la variation peut donc se mettre sous la forme

fpx.dy -t- ff'hj.dx -t- ff\.udxdy y Udy H- y Vdx ■+■ \V.

Pour fixer les limites de ces intégrations, nous supposerons que l’intégrale définie double doive s’étendre à tous les éléments d’une surface ADCD (fig. 40) limitée par une courbe connue ou inconnue aBCD et ayant EFGll pour projection XY. Si l’on désigne par y' et y" les ordonnées extrêmes pq et pr répondant à une abscisse quelconque Op, l’intégrale par rapport à y, x restant quelconque, devra être prise depuis y' jusqu’à y" ou dans toute l’étendue de qr et pour embrasser la surface entière, la seconde intégration par rapport à x devra s’étendre depuis le point F de lu courbe le plus rapproché de l’axe Y, jusqu’au point II le plus éloigné, ou depuis X' jusqu’à X".

Lorsque la première intégration se fait par rapport à x et la seconde, par rapport à y, les premières limites seront x', x" et les secondes. Y', Y" La variation de l’intégrale double devient ainsi, en

désignant par f'ix, f'dx", U', U" ce que deviennent fdx, U

quand on remplace x par x' et x", et par V,', V,", f/iy' etc., les valeurs extrêmes de F,/'.<y, etc.,

[IK] -t- ^ [f/“ — L " + /"o'x" — /’cfx'jrfy -X"

['V'- 'V +/;"«y jf^-»'i^<iy,

Jx’

f.OO

CII^I'ITRR XX.

t]iic nous (‘frirons de celle inanii'rc

[I> J H- ^ j^r' 4- /ïxj ily J , Sf

La valeur de [iri s’oldienl en retnarqiianl que l’inlégralc par rap-

porta X, de -j — y- d-W.dxdy cal dW.dy, l’inli-grale d(Tinic est

dxdy

done-î- dW'du \-dWdii, en désignant par II’" cl W" ce quede-

d,j ■’dy-’

vient 11' quand on y remplace x par x" et x' ou par leur valeur en y. Les intégrales par rapport à y, de ces deux termes, sont de même W" — W cl l’intégrale définie de chacun d'eux prend la forme \V„" — W," cl W,,' — ir,', W" désignant ce que devient IV' quand on y remplace y par Y", etc. ; on a donc

287. Maximum et minimum d’une intégrale définie double. ■ — En reprenant les raisonnements du IS'"270, on reconnaît sans peine que ])oiir rendre maximum ou minimum la valeur d’une intégrale délinic duiihlc J’J' fdxdij dans laquelle f contient une variable z fonction indéterminée de X cl de y ainsi que scs dérivées partielles, il fdul égaler à zéro la variation de l’iiilégralc. La condition du maximum ou du minimum est dune

ir„" hv'-uvh- »7

dL-

( dz dx dp

dp, (/x* dg

dxdg — O.

.Si dans cette équation on remplace les A cl scs dérivc-cs par leur valeur de la fin du iV284, elle contiendra les variations ix, Si/, 3z, ùp... sous trois formes esscnticllcmcnl différentes. Dans la [iremièrc ligne.