CALCUL DES VARIATIONS

les variations contenues dans les IK ne se rapportent qu’à certaines valeurs dctcrininëcs X', Y', X", Y" de i et de i/. Dans l’intégrale suivante, les variations ne se rapportent qu’aux valeurs extrêmes x' ctx" de X, 1’^ restant quelconque et dans la seconde intégrale les variations SC rapportent aux valeurs extrêmes i/' et y" de i/, x restant arbitraire. Enfin dans l'intégrale double, le A correspond à toutes les valeurs de x et de y dans la surface ABCD. 11 suit de là que l’on doit avoir séparément

ir/ = o.

(Ixdy == 0.

L’intégrale double de la troisième équation représente une somme de valeurs mullipliées respectivement par nu facteur indéterminé A. Cette somme ne peut être nulle sans que l'on ait pour chaque valeur de X et de y,

dz dx dp dij dp, rfx* dq dxdy dq,

Telle est l’équation indéfinie qui fait connaitre la relation cherebée entre s, x, y.

288. Équation aux limites. Problème de la moindre surface pour un contour donné. — Pour interpréter la première des deux autres équations, que l’on appelle, comme dans la première partie du calcul des variations, équation aux limites, nous ferons une hypothèse sur la nature du problème à résoudre et nous supposerons qu’il s’agisse de trouver l’équation d'une surface remplissant certaines conditions et jouissant d'une propriété de maximum ou de minimum relative à sa surface ou à un volume, 1a surface ayant pour limite une courbe fermée AllCD (fig. 4G) représentée par les deux équations

riIAI'ITlIR XX.

Comme la qiianlité II',/' — W" — ir„' -4- W,' csl le résultat d’une double inlégralioii par rapport à x et à i/, étendue à tous les points de la surface, il est clair que si KFGH (fig. 4(>) est la projection du contour de la surface dans le plan des XY et ayant pour équation y = -j/x, l’intégrale par rapjiort .à y devra être prise de|)iiis y ==/»i/ jusqu’à I/" = pr, y' et y" étant deux valeurs de y correspondant à un même x — Oj), tirées de l’équation y=>-!^x; puis l’intégrale par rapporta x = Op devra se prendre depuis X' = OL jusqu’à X" = OK, X' et X" répondant aux points F et H de la projection EFGH les plus rapprochés et les plus éloignés de l’axe des Y. Or, si cette projection est une courbe fermée continue, il est visible que pour X' = OL, les <lcux valeurs de y' et y" se réduisent à LF, pour X" = OK, y' et y" deviennent KH cl les valeurs extrêmes des dérivées p„ i/, q, se confon-

dront enyéiiéral. Il suit de là que la quantité \V„" — \V," — H’,/-»- W,' est nulle d’elle-nicmc et ne donne lieu à aucune équation de condition, puisque W,!' et IF," s’obtiennent l’un en remplaçant dans IF, x par X" = OK, y par y" = KH , et l’autre en faisant x = X'=OK et y' = KH et que par conséquent H'„" et H'," sont identiques. 11 en est de même de IF„' et IF/-

Les choses se passeraient aulrement si la projection A'B'D'C' du contour ARDC (fig. 40), au lieu d’être une courbe fermée continue, était limitée par des parallèles A'B' cl C'D' à l’axe des Y' (fig. 40). (Pour que la fig. 40 qui a déjà servi à un autre usage, puisse être employée à celle démonstration, il convient d’y siijiprimcr l’axe Y cl lie remplacer Y' par Y'). Alors en remplaçant x par X' = OF, y' et y" ne prennent plus la même valeur, mais deviennent FA' et FB'. Quand x est égalé à X" = OG , y' et y" dcvicniicnl GC' et Gü'; la quantité IF„" — IF," — IF,,' -s- II’,' n’e.sl donc plus nulle d’ellc-inênie et son égalité à zéro formera une véritable équation de condition.

Or, si dans IF qui contient A, -q , on remplace ces quantités par

leur valeur de la fin du X" 280, en rcinaripiant que l'on a

Js"=-t'x"^x", oV = 'Vx'aV, o'y" =r. F’x"ix", 6y'=^fi'ox' à cause des équations

r=yx et y==l'x,

z = yx et y = fx,

tAIXfl, lits VAIII.UIÜNS.

des deux liranclics AC cl iiO, ré(|uiitiiiii

(jor,

cuiilienüril des tenues multipliés pur cTx', d’autres multipliés par oV',

par 0'//, par 0/)", par np' Comme les valeurs de X' et de X" sont

eonstantes, les deux premières variations disparaissent d’cllcs-mémes; mais ci//, Sp" .... étant arbitraires, les coeflicients doivent être égalés à zéro, ce qui donne lieu à un certain nombre d'équations aux limites, c|ui ne coneernent que les points A', B', C', D'.

Si les deux points A', B' coïncidaient, ainsi que C' et ü', sans qu’il y eut coutinuitc aux points A' et C' entre les deux brandies A'C' et B'I)’, les ordonnées extrêmes y et y" coïncideraient encore, mais il

est visible que les dérivées partielles p, p„ q prises dans les deux

branches ne se confondraient pas et que par conséquent il y aurait encore en général des éipialions aux limites.

Passons à l’interprétation de la seconde équation aux limites du numéro précédent. Il est visible que les deux intégrales qui y entrent ont toutes deux pour cITet d’étendre au contour ABCD (Fig. éC) ou ;<(x, ij) — O, tout entier, les dilTércnticlies dont se cuiuposcnt ces intégrales. Cette remarque, qui fait donner à cette équation le nom d’équalion au coulour, permet de réunir les deux intégrales en une seule; car si l’on désigne par ds l’éléiucnt de cette courbe, croissant dans l’ordre FGUCI', comme on a

<ln

hj — — ~77"</x , ds = dx —

il vient aussi

dx^

et si l’on remplace dx et dÿ par ees valeurs, Véqualion au contour

CIIAI'ITIIE XX.

devient

A ny (/.

-cïr-

v/(ÎJ-©'

ds = 0.

on bien, en désignant par M" — W et JV" — N', les coeHicicnts de ds sous les deux signes d’intégration ,

r\" rX" fY" i-Y"

\ M"ds—\ M'ds—\ A"'(/s+ \ Y'(/s = 0

-’X' •'X' Jy' •’Y'

<|ii’un peut écrire do cette manière

-X" rX' çY çV

\ M"ds H- \ M'di -H \ N"ds + \ -V'ds = 0. Jx' -X"

Il est à remarquer que la première intégrale concerne In branche de courbe FGH la plus éloignée de l’axe X, puisque dans W les y sont remplacés par y" ou pr. Pour le même motif la seconde intégrale concerne la branche IIEF, la troisième, la branebc GIIE et la quatrième, la branche EFII. La première intégrale est donc étendue à tous les points de la courbe FGH depuis X' jusqu’à X" ou depuis F jusqu’à II, la seconde, à la courbe IIEF, depuis X" jusqu’à X', ou depuis H jusqu’à F; la somme de ces deux intégrales représente donc une intégrale unique de Mds prise sur toute l’étendue du con-

tour FGHEF, c’est-à-dire l Mds, en désignant par l la longueur totale •'0

de la courbe dont ds est l’élément. Pour le même raisonnement, on

reconnail que la somme des deux autres intégrales tient lieu de et l’équation au contour prend la forme suivante

CALCUL DLS VAniATIONS. (iüî)

OU simplement, en convenant de n’ctcndrc l’inlégrale qu’au contour,

dans laquelle l est la longueur totale de la courbe EFGIIE, comptée depuis un point pris arbitrairement.

Après avoir remplacé à et ses dérivées, par les valeurs du 280, en t-cmarquant que les coordonnées appartenant à des points situé.s sur la courbe limite, on doit avoir à cause des équations de cette courbe

iz == <f'x3x,

tlx

dtj

la différentielle placée sous le signe d’intégration ne se composera

plus que de termes multipliés par Sx, par Sp, par Sp, et comme

ces dernières variations sont arbitraires, les coefficients devront être égalés à zéro, ce qui donnera lieu è des équations de conditionlesquelles devront subsister pour tous les points du contour et donneront des valeurs de p, p„ q qui doivent s’accorder avec celles

fournies par l’intégrale de l’équation indéfinie aux dérivées partielles. On est ainsi conduit à des identités au moyen desquelles on détermine la forme des fonctions arbitraires que cette intégrale doit contenir.

Si la fonction f ne contient que les dérivées p et p, du premier ordre, l’équation indéfinie aux dérivées partielles se réduit à

tlz dx dp dij dp,

et l’intégrale qui concerne le contour devient

J rfy L rf/' Jrfv //d>\* /d '^y

ciiAPiTnt: x\.

nu liicii

\dpdx <ip,dyj '\(lx (hj /(/A-vî

Le cocllicinit 'le f est nul îi Cituse de la valeur de la variation de ■);(x, y) — 0 cl comme A est la partie de racernisseiiicnl de z duc à un changement de forme de la surface, ce cocffieicnl ici est nul puisi|uc le eonlour donne cl invariable ne prend pas part îi ce changemcul de forme. Il n’y a donc aucune équation aux limites.

Il n’en serait plus de meme si la surface, au lieu d'etre limitée par une courbe donnée et invariable , était seulement assujellic à sc terminer dans un cylindre ayant pour base la courbe -^(x, y) = O, comme cela a lieu pour un problème de cette nature : quelle est parmi les surfaces jouissant de certaines propriétés et ayant même projection dans le plan .\Y, celle qui a la moindre étendue? Dans ce cas le z du eonlour est indéterminé, A n’est plus nul cl l’on a l’équation de condition

dp, dy dp dx

Ainsi, si l’on demande quelle est parmi toutes les surfaces ayant inénic contour celle qui a la moindre étendue, il faut visiblement rendre

minimum l’intégrale double y/ 1/ 1 + p* -r- p,'‘dxdy cl l’on trouve pour équation indérinie de la surface,

(1 Pl'ln - -♦-{<-<- P.*) 7 = «•

Il n’y a ici aucune équation aux limites et les fonctions arbitraires du l’intégrale sc déterminent par la condition que la surface doit contenir la courbe limite donnée; mais si l’on demande la surface minimum qui recouvre un cylindre ayant pour base la courbe ^(x, y)=>0, on sera encore conduit à l’équation indéfinie précédente et en outre, à l’équation an contour

-*-Pf

dz d !f dx dx

dz dj.

CAi.cui. ms V \m iTioNS.

Sans ciïcelucr l'iiiU’-gration dn l’cqiialiuii aux dérivées jiartielles (le la surface, un rccoiinail que celle-ci est satisfaite, ainsi (|ue ré(|uation

ilz ,IH

au contour, en posant î — const., puis(]ue-j- > ou jt, (/

sont alors nuis. La surface dans ce cas particulier est donc un plan jiarallèle à la base.

Il est à remarquer que IVr/untio/i au ronfonr exprime que la surface niiniinuni ou inaxiinum est en tous les points de son contour, normale au cylindre limite, ce que l'on prouve en clicrclianl le cosinus de l'angle formé par les normales élevées en un même point à la surface mininium et au cylindre.

Si la surface cliercliéc, au lieu d'avoir pour contour une courbe donnée ou d'être limitée par un cylindre, était assujettie à la condition d'avoir son contour placé dans une surface donnée z = y(x, y), comme cette dernière équation différenciée successivement avec le signe d et avec le signe conduit aux suivantes

llz — (T(/x TC//// , OZ = TTO'X ,

cl qu'on a pour la surface cbcrcliéc et pour la ])rojcction indéterminée de son contour, les relations

dz = pdx -4^ tlx -V- du !

' ' (Ix thj ■'

il en résulte pour ^ la valeur suivante ;

A = o'î ;n>x — p,'}!/ = — p) ùx -e (-, — P,) oij

/ — 'Jx IJ

. /, dx V , / dx dy •’ \

(Ix

dans laquelle n’est plus nul, puisque, en faisant varier

la position du contour sur la surface donnée, sa projection dans le plan -\Y eliange de forme cl que par conséquent la fonction \ ne reste pas invariable. Ln rempla(;anl A par sa valeur, l'équation au

CIIAMTBE XX.

contour devient

/d/;^ ydp dx

ÉL

ou bien

(Is

vTS)'-{3ÿ

qu’on peut écrire de Ici manière suivante :

Si l’on égale à zéro le cocnicicnt des variations arbitraires 3x et iy, il vient pour équation au contour

Ainsi, si l’on demande la surface inininuim dont le contour soit tracé sur une surface donnée, on remplacera / par /<* h- p,- et le

contour sera assujetti à la condition

-p)p-^{^,—p,)p,-^-^-*-p'-^p!‘ = Q ou I -t- pr -V- /),», = 0.

Cette équation exprime visiblement que la surface minimum est partout normale à la surface donnée.

CALCUL DES VAIUATIOSS.