COI

■iS'J. Mutimum ou minimum relatifs. — Si les variables qui entrent dans rintégriile double c|u’on se propose de rendre maximum ou minimum devaient en même temps satisfaire à une certaine équation exprimant qu’une seconde intégrale double prise entre les mêmes limites que la première, est égale à une eonstante, le maximum ne serait plus alors qu’un maximum relatif. Il est visible que la seconde intégrale étant constante, sa variation sera nulle comme icelle de la première et il faudra, comme au N“ '27li, se servir de cette équation pour éliminer l’une ou l’autre des variations arbitraires; mais ici comme au N® 27o, on peut arriver au même résultat d’une manière plus générale et plus analytique , en égalant à zéro la somme des deux variations totales, après avoir multiplié l’une d’elles j>ar un facteur indéterminé, et en rendant nul le cocflicient de chaque variation restante, résultats auxquels ou est visiblement conduit en réunissant les deux intégrales doubles yy Vdxihj cl f J' Udxdy après avoir multiplié l’une d’elles par un facteur constant indéterminé a et en égalant à zéro la variation de J'J' [V al')dxdy. Ainsi si l’on demande quelle est parmi toutes les surfaces renfermant le même volume, et ayant le même contour, celle qui a la moindre étendue, l’intégrale

./y i/ï+ P* -h P,- dxdij devra encore être minimum, maison même temps l’intégrale fj' zdxdxj devra être constante; il faudra donc égaler

à zéro la variation de p^ p,*) dxdxj. On trouve

ainsi pour équation dérivée imléiinie de la surface,

i(l -H -f- /),*)*= (I -i- p-)q„ — '■Ipp.q, -t- (I -f- pf)q.

Elle est satisfaite, comme on peut s’en assurer par la substitution, en prenant pour intégrale

pourvu que l’on fasse r = — 'la. La surface est par conséquent celle d’une sphère; mais comme les constantes a, p, y se déterminent en assujettissant ccllc-ci à passer par la courbe de contour, on voit qu’une solution aussi simple n’est possible que si le contour donné peut se trouver sur une sphère. Dans le cas contraire, il faudra faire usage de l’intégrale la plus générale et déterminer les fonctions arbitraires de manière à rendre possible cctle coïncidence. Quand la courbe de contour n'est pas lixée, mais est seulement assujettie à se

(ilO

ClIAPITIIi: XX.

Irouvcr sur un cylindre donné par l’équation de sa base (x, y) = O, alors ^ est arbitraire et il y a une équation au contour

qui exprime encore que la surface minimum est dans chacun de scs points normale au cylindre. Cette dernière équation et l’équation .aux dérivées partielles deviennent identiques en supposant s=const.

pourvu que - soit égal à zéro, c’est-a-dire, pourvu que r suit infini. a

Il suit de là que la moindre surface par laquelle on limite un cylindre de volume donné est un plan parallèle è la base. Enfin si la surface minimum devait se terminer dans une surface donnée, on reconnaîtrait, comme ii la fin du numéro précédent, que le contour doit satisfaire à la condition

On trouve de même que jiarnii toutes les surfaces de même contour et de même étendue, celle qui a son centre de gravité le plus bas, (l’axe des Z est ici vertical) est donnée par l’équation

(l +p^-+- p^y = -I- j (I -I- P*) q„ — rpp,q, -4- (1 -i- p*)q\.

Enlin, on démontre sans peine que parmi tous les cylindres de iiicine base et de même volume, celui-là a son centre de gravité le plus bas, qui a pour base supérieure une surface plane horizontale.