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35. Utilité des développements des fonctions en série. — La principale utilité des développements des fonctions suivant les puissances ascendantes de la variable, est de fournir un moyen de calculer la valeur approchée d’une fonction donnée pour chaque valeur attribuée à la variable. Ainsi le développement
sin X = X
etc.
conduit assez promptement à la valeur des sinus de tous les arcs; car il est visible que les termes diminuent très rapidement de valeur, surtout si l’arc X est petit, et quelques-uns des premiers suffiront pour donner une valeur approchée du sinus.
Le développement de \/ a' + z” que nous mettrons sous la forme
peut servir à calculer la racine /»'''"'■ d’un nombre .4; car si o est la racine approchée de A et x le reste, il est visible que les termes de la série décroîtront, en général, assez rapidement pour qu’on puisse se borner aux premiers termes, du moins lorsque le reste x est petit relativement à o".
CAI.CCL DIFFKKEMTIEL.
Un semblable usage des dcveloppemenls des fonctions exige évidemment que les termes diminuent assez rapidement pour qu’on puisse les négliger tous à partir d'un eeit.iin rang. Il faut donc rejeter eomine inutiles et eoinmc pouvant même donner des résultats fautifs, ainsi qu’un le verra bientôt, les développements qui ne décroissent que lentement et à plus forte raison, ceux dont les ternies au lieu de dérroitre, vont en augmentant. Ainsi, il ne faudrait pas, pour calculer les logarithmes des nombres, employer 1a formule
Log (h
Log I
que l’on obtient en faisant x — 1 tlans le développement de Lng[x ■+■ h) ; car il est visible que polir une valeur de h supérieure à l’unité, les termes vont en croissant. On ne peut donc l’employer que lorsque h est plus petit que l’unité; mais on le rend propre au calcul des logarithmes des nombres supérieurs en lui faisant subir certaines transformations; ainsi h étant plus petit que Tunité, si on change ■+■ h en — h, il vient
l'Og (<-*) = (“T -y-
ct en retranchant l’un de l’autre les deux développements et remarquant que
■Log(l — h)-.
on trouve
: etc.^ L
d’où h —
il vient enfin en substituant,
Log („ -I- 1) = Log « .. 2 + 1
r.iiAi’illiE II.
Ii(>
Unns ce (lévcloiipcmcnt, les termes déeroisscnl en général Irôs-
rapidement , puisque pour n — 20, le premier est — et le second
; on uourra donc s’en servir pour former une table de loga-
rillinics, car ayant trouvé le logarithme d’un nombre n, la foriiiiilc donne le logarithme du nombre suivant n I.
36. Convergence des séries. — Pour que l’oii puisse faire d'un dévoloppemenl l’usage indiqué plus bnot, il ne siiini pas que les termes aillent en décroissant; il faut encore que la loi de ce déeroisseincnt soit telle que la somme de tous les termes que l’on néglige, à partir d'un certain rang, soit une quantité finie négligeable devant la soniine des termes dont on lient compte. Ainsi, s’il s’agit du développement
on ne pourra pas considérer la somme d’un nombre quelconque des premiers termes, comme une valeur approehée de 1a somme totale; en effet en faisant /i égala l’unité dans le développement de Log(1 — h), on retrouve la suite précédente; la somme totale est donc infinie, puisque Log (1 — 1) ou Log o est l’infini négatif; et il doit en être de même de la somme des termes depuis un rang quelconque jusqu’à l’infini, puisqu’un nombre limité des premiers termes ne forme évidemment qu’une quantité finie.
On voit par cet exemple combien il importe d’avoir un moyen de s’assurer que la somme des termes à partir d’un certain rang est négligeable devant ceux dont on tient compte. C’est cette rcclierclic ipii va faire l’objet des paragraphes suivants.
îSous appellerons en général série une suite infinie de quantités se déduisant les unes des autres d’apiès une loi uniforme et déterminée. Si on désigne par s, la somme des n premiers termes de la série, s, sera évidemment une fonction du nombre « et la série est dite coHVcrgenle si la somme .s. converge vers une limite finie et déterminée, lorsque le nombre ou l’indice h converge vers riiifini. Celle limite se nomme somme de la série. Si la somme totale converge vers une valeur indéterminée ou vers l’infini, la série est dite divergente et n’u plus de somme.
La comparaison d’un développement donné, avec celui formé pnr une progression géomctrii|uc , l'oiiruit quelques principes propres à
CALCUI. D1FFÉI1E.MIF.I,.
l'airc l•c^;otlllail^e la convergence d’une série. Kemariiuons iralmril que si la série donnée lonne une progression géométri(|ue
a, a/l, a/l*, aq*,.... aq",.... ,
la soinnic des n premiers termes est
et il est visible qu’elle converge vers l’infini avec l’indice « , si q est un nombre supérieur à runilé, puisque dans ce cas q" est infini; tandis que si q est plus petit que l’unité, elle se réduit à une valeur
Il suit de là que la progression géonié-
fmie et déterminée ■
trique forme une série divergente ou convergente, selon que le eoeflieient constant est plus grand ou plus petit que l’unité.
.Soit maintenant une série quelconque dont nous supposerons tous les termes positifs.
M, H M, «J I/* + -4- «. f etc.
dans laquelle m, est le terme qé/iéral. Je dis que si l’on représente
par q la plus gran/ie valeur numérique que prend [/ u, quand on fait croître n depuis un jusqu’à l'in/ini, la série sera convergente si q est plus petit que l’unité ; en effet l’inégalité
ayant lieu par hypothèse, pour toute valeur croissante de n, on en déduit en donnant à n toutes les valeurs possibles et en élevant les deux membres à la puissance n.
«i<îi »t<l‘ ''-<7"
et par conséquent
M, 14, -t- Mj ^ u,<fq I- q* + 7" ou
or si q est inférieur à l’unité, le second membre converge vers la
limite finie — — > quand « converge vers l'infini; la somme des 1—7
termes reste donc inférieure à la quantité finie — • Si quelques
ciiAPirnE II.
uns des termes de la série étaient négatifs, la convergence existerait à plus forte raison, lorsque la série, en prenant tous les termes positivement, remplit les conditions de convergence. Il suit de là que les séries
a cos X. -+- a* cos 2x u’ cos 5x -t- a‘ cos 4x -+- etc. a sin X >- a* sin 2x s- a’ sin 3x a* sin 4x -t- etc.
sont convergentes quels que soient les signes des diflcreiits termes, pourvu que a soit jilus petit que l’unité, car on a
y a" cos HX = ay cos ;ix , y a" sin nx — a |/ sin nx
et comme cos nx et sin nx sont tout au plus égaux à Tunité ,
o|/cosnx et uj/siiinx seront pour toute valeur de n plus petits que l’unité.
En général la série
M, cos X -4- M, cos 2x -4- « j COS 3x -4 -4- tt, COS HX -4- etC.
sera convergente, si cette autre série
«, -4- V, -4- «/j -4- n, -4- etc.
l’est elle-même, c’est-à-dire si l’on a pour toute valeur
de n ; car la condition de convergence est
y M, cos /IX l ou bien |/ u. <[ »
j/ cos nx
condition qui est remplie si (/n, est moindre (|ue l'unité, puisque
j/cos nx reste inférieur à l’iinité et la fraction du second membre reste supérieure à runité.
Il en serait de même si cos x était remplacé par sin x et si la progression X, 2x, 3x était reinplaccc par toute autre.
La série est encore converyente si la plus grande valeur numé-
rique du rapport îilil > quand on fait croître n i/idéfiniment , reste
inférieure à l'unité; car en rc|iréscntant cette plus grande valeur par q, on aura par hypothèse.
îil
CALCUL DIFFÉHF.NTIEL.
Oit
d’où l’uii tire en tnulli|ilionl membre à membre les deux, puis les trois, etc. premières inègulilés,
et par eonsequent en additionnant, on est conduit h l'inègalilc
Le second membre converge vers lu quantité finie s' 7 <-'st
moindre que l'unité, puisque q" devient nul quand n devient infini.
Enfin lorsque dans une série les termes sont alternativement positifs et négatifs, il y a convergence quand la valeur absolue des termes va constamment en décroissant ; en effet en écrivant la série de cette manière
il est visible que chaque binôme sera positif et que, pur ronséquent la somme totale est positive ou supérieure à zéro , tandis qu’en écrivant la série eoinme il suit
tous les binômes auront encore des valeurs absolues positives et comme ils doivent être retranchés de u,, on voit que la somme de la série est inférieure à u,. Elle est donc comprise entre zéro et u,, c’est-à-dire qu’elle est finie.
Il suit de là que lu série
etc.
est convergente, tandis que
- -A- - -A- etc.
ne satisfait pas à la condition de convergence, attendu que le rap-
port =- q est ici qui converge vers l’iinite quand n tend
vers l'infini.
ClUmRE II.
Smiveiil dans iiiu; suite doiiiiéc, les coiuliliuiis de eoiivcrgeiicc ne se vérilienl pas dès les jireiiiiers Icniies, mais à jiarlir d'un certain rang m jusqu'à la lin. Dans ce cas la série est encore dite convergente, parce qu'on conçoit la souinie totale composée de dcu\ parties, la preniicrc coiiiprenant les m premiers termes qui formciil une soinmc finie, et la seconde comprenant le reste de la suite et obéissant en entier à lu loi de convergence, e'esl-à-dire ayant aussi une soinme finie.
Rerii.irquoiis que lors()u'uue série est convcrgeiile, la soinmc des U premiers termes représente d'une manière approchée , la soiiinic totale d'autant plus exactement que n est plus grand, puisque la partie que l’on néglige n'est autre que l'excès de lu suiiimc totale finie , sur ees » premiers termes.
Considérons en particulier la série de Taylor
Il résulte de ce qui précède qu’elle sera convergente si l’on a pour toutes les valeurs croissantes de «,
