il -i

< 1 ou /i <

Cette condition est Yisibicinent remplie à partir d’un certain rang, pour toute valeur de h et pour toute valeur de x, lorsque les dérivées ne sont ni iiullcs ni infinies, puisque le numérateur n -s- 1 peut être pris aussi grand que l’on veut. On voit donc que la série de Taylor est convergente pour toute valeur de /i, lorsque toutes les dérivées successives de la fonctiuii sont comprises entre zéro et rinfini, ou jilutot larsque le rapport tie deux dérivées consécutives est constamment une nuantité finie.

-Tw «

Dans le dévclopjicinent de (x -t- /i)“, le rapport

qui devient infini avec «; mais l.i condition de convcrgeiiec

du dévclojijicmcnl du biiiôine de Newton est

CALCUL DIFFLnE.NTIKI..

pour tonte valeur de >i et pour n infini, elle devient en fnisant alistraetion du signe, li<^x. La convergence de ce développeniciil n'est donc assurée t/tie si le second terme h est plus petit que le premier X. On trouve la nièine eondilion pour la convergence du développement de Log (i -A- II) du N* 35. Les valeurs de sin (x ■+■ h) et de cos (i -A- h) sont convergentes pour toute valeur de h, lorsque x

est compris entre zéro et

Puisque la série de Maclaurin se déduit de celle de Taylor en faisani X = 0 et en eliangeant h en x, on conclut de ce qui précède que la série de .Maclaurin est convergente quelle que soit la valeur de x, toutes les fois que les dérivées successives conservent dos valeurs finies pour X = n. Ainsi le développement