C.ILCUI. I.NTÉGRAI.. 3(i

et en multipliant les deux membres par dx et intégrant par rapport à X, on trouve

dans laquelle C peut contenir la variable y, puisque pendant l’intégration cette variable a été traitée en constante. L’équation différentielle proposée peut donc prendre la forme

fl'J

qui est visiblement une différentielle immédiate, puisque les deux premiers termes forment la différentielle totale de y(x, y) et que Cdy est aussi une différentielle exacte, attendu que C ne contient que des y. 11 suit de là que l’égalité

d,V d.\ dx dy

est la condition nécessaire et suffisante pour que l’équation différentielle implicite

ildy -+- Ndx — 0

soit une différentielle immédiate. On reconnaît ainsi que xdy -t- ydx = fl

est une différentielle immédiate et que

xdy — ydx — fl

ne l’est pas.

17.’j. Intégration des fonctions gui satisfont à la condition d’intégrabilité immédiate. — Lorsqu’une équation différentielle implicite

Mdy -i- Xdx = fl

satisfait à la condition d’intégrabilité immédiate, la reeberche de l’intégrale se réduit à une quadrature; en effet, en représentant celle-ci par U = O, ou sa différentielle totale par

du , du ,

-C-- dx — du — 0,

dx dy •'

■iü

CHApirnR XIII.

on doil avoir On tire de la première,

dx dy

M= f Sdx -+- Y.

Celte intégrale doit être prise en traitant les y comme constants, puisdu

que la dérivée — a été prise dans cette hypothèse; d’où il résulte que

la constante arbitraire Y est, en général , une certaine fonction de y. Pour la déterminer, observons que, puisque

on doil avoir en remplaçant u par sa valeur,

„ d fXdx dY

dy dy

d’où l’on tire

d/Xdx\

dy )

dy n.

D étant une constante. En remplaçant V par celte valeur, dans ti, on trouve enfin pour l’intégrale cherchée.

f Xdx -H dy + I) = O.

Observons que

d J' Ndx

ne peut jamais renfermer la variable x; cela résulte de ce que cette

intégrale représente Vqui, comme nous le savons, est une fonction

de y seul, si la différentielle proposée est une différentielle exacte.

On peut d’ailleurs le faire voir directement en prouvant que la déri-

, , ,, d y Xdx . . ■ ,1

vée de M prise par rapport a x, est toujours nulle; en

effet celle dérivée est

dM d'yXdx

(/.V d\fXdx

dydx

dxdy

l.'fTËGIlAL.

que l’ün pctil mettre suus la furnic

tlM

lîl

parce que

d jWdx dx

ilV d^

dx dy

et cette dérivée se réduit à zéro, si la différentielle proposée est une différentielle exacte, puisqu’on doit avoir dans ce cas

dM cLV dx dy

On pourra appliquer cette méthode aux équations différentielles suivantes :

ydx-^-xdy = 0, xdx — ydy = U,

ydx — xdy X* -V- y^

dont les intégrales sont

xy = C, x- — y- = C, y-\- — ^C, x=Cy.

17G. Extslence d'un fadeur propre à rendre di/férenlielle exacte, une différentielle donnée. — Lorsqu’une équation différentielle iic satisfait pas à la condition d’intégrabilité immédiate, on ne peut en trouver l'intégrale qu’après lui avoir fait subir certaines transformations qui lui donnent cette propriété. Il existe sur ces transformations un théorème important qui consiste en ce que, une équation différentielle quelconque à deux variables peut toujours devenir différentielle exacte en la multipliant par un certain facteur à déterminer dans chaque cas; en effet

ifdy .Ydx = I)

étant la différentielle donnée, on a vu (N° 173) qu’elle a nécessairement une intégrale médiate dans laquelle lu constante arbitraire se trouve généralement combinée avec les variables. Si l’on

CIIAIMinb: Mil.

couçoit riiilvgralü rôsoliiu par rapport à celte constante C et mise sous

la forme V=C, on obtiendra pour-p> en différenciant celle der-

iiière, une valeur en (x, y) indépendante de C comme celle qui est donnée par l’équation proposée

Mdy -I- Xdx = 0.

Ces deux valeurs sont

= Z cl ^

dx M dx

on doit donc avoir identiquement, c’est-à-dire, quelles que soient les valeurs de * et de i/,

'IX

.V dx

Tr^liV'

car s’il n’y avait pas identité, cette égalité constituerait une relation entre x et y distincte de V = C, puisque cette dernière seule contient C. On aurait ainsi deux équations en [x, y) qui pourraient servir à déterminer ces variables dont les valeurs seraient constantes, ce qui est absurde. On doit donc avoir identiquement

(/V’ .V ([V dx M dy '

et si l’on remplace

par su valeur identique, dans

-7- dx dit — 0

que l’on sait être la différentielle totale exacte de V = C , celle-ci deviendra sans cesser d’clre différentielle exacte,

-dx

€\i.ci:l i.ntêckal.

qu^rn peut mettre sous la forme

1 dv

Le facteur — -7— rend donc la düTcrentiellu dunnde Mdii ■+■ Xdx exacte if dy

et égale k dV. On voit aussi qu'il y a un nombre infini de facteurs propres à remplir eclte condition, car en désignant par yV une fonction quelconque de V, on obtiendra encore une dilTérentielIc exacte en multipliant

itdy + Xdx —0

1 dV .

par — — puisqu elle devient

1 dV

® V— -T— -I- iVdx) = 0, c’est-à-dire, yr(/V=0, il dy

laquelle est évidemment dilTérentielle exacte.

C’est ainsi que l’équation

xdy — ydx — O

devient, en multipliant par — ^ »

xdy — ydx

qui e.st la différentielle exacte de

177. Détermination du facteur propre à rendre exacte une différentielle donnée. — Ce qu’on vient de voir prouve seulement l’existence d'un facteur propre à rendre intégrable immédiatement une équation différentielle donnée; quanta la valeur de cc facteur, elle ne saurait résulter de ce qui précède, puisqu’il faudrait d’abord connaître la fonction V, cc qui suppose l’intégrale déjà connue. Pour déterminer ce facteur que nous désignerons par :, observons que

Mzdy -H Xzdx = O

CHAPITHB XIIK

devant être une dtfTcrcnliclIc exacte, on doit avoir

d{m) d{.vz)

c'('$l-à-(iirc, cil circctiianl les dérivations,

.dz

dij ^\d>j dx J

Cette équation, qui contient les deux dérivées partielles et ^ de la

fonction r, est dite aux dérivées partielles et son intégrale ferait connaître la valeur du facteur z; mais nous verrons plus loin (N° 22(1) que cette intégration présente en général des diflieultés qui obligent presque toujours à rabaiidunner; cependant l’intégration est possible dans un cas particulier; c’est lorsque les cocITicicnts et N' sont tels qu’en mettant l’équation aux dérivées partielles sous l’une des deux formes

z\dx M dyj M\dy dx J

<lyj rf-C/

les seconds membres ne contiennent, la première que la variable x, ou la seconde, la seule variable y, en effet, dans le premier cas, en désignant ce second membre jiar f'x, l’équation devient, après qu’on

a remplacé — dans le premier membre par sa valeur —

1 /dz dz d>/\ ^ f /dz , dz ,\

et en remarquant que la parcntlièsc est la différentielle totale dz de

dz . ffrdx

— = fxdx don z = e

ün voit que dans ce iirciuier cas le facteur z n’est fonction que de la

CALCUL INT^CnAL.

seule variable x. Ou fera voir de la même manière que dans le second cas, il n’est fonction que de la seule variable y et qu’il est représenté -ffydy

par e

La dilTércntielIc

donne

et par conséquent

La difTérentielle

(x — 1) (f -4- X — 2y) dx — (x — l)*</y = O •

doit donc être intégrable iminédiatement. On trouve en effet, en employant la méthode du N” 175,

/.Vdx=[-

•yx* -t- (2y — l)x >

xJ 1

et l'intégrale prend la forme

• x’y + 2yx — x — y C = 0.

On peut intégrer de cette manière toute équation différentielle réductible à la forme

dy -A- Pydx = Qdx,

P et Q étant des fonctions quelconques de x; car on trouve M=\, N=Py — Q, 2 =

CflAniHE \lll.

et il vient (N“ 175), après avoir multiplié les clcuv membres par e , cl l'intégrale devient

— I Çe di C == 0,

qu’on peut mettre sous la forme

fPdr

e Qtlx s’obtiennent par de

simples quadratures, puisque P et Q ne contiennent, par hypothèse, que des x. L’équation dilTérenticllc dont on vient de s’occuper se nomme équation différentielle linéaire du premier ordre.

Appliquons celte formule d’intégration à la résolution du problème suivant : un va.ie contenant V litre» de vin perd une quantité v de liquide par seconde, tandis qu’une quantité v' d'eau par seconde y est tntroduite. On demande combien de vin et d’eau contiendra le vase au bout du temps t?

Le volume de liquide contenu dans le vase au bout du temps t est V' -4- (o' — v) t parce que le liquide introduit est v't et le liquide écoule est vt. On a donc en désignant par x et y les quantités de vin cl d’eau cherchées.

D’un autre côté l’aecroisscmcnt de la quantité d’eau dans le temps dt, représenté par la différentielle dy, se eonposc du volume v'dt fourni pendant le temps dt, diminué du volume d’eau qui s’est écoulé dans le même temps. Or le volume écoulé composé d’eau et de vin est vdt

et comme le mélange contient x et t/ litres de vin et d'eaii, la iiiinntité

d’eau écoulée est v — — tlt. Il vient donc

dij = t/dt ■

dt.

Si l’on élimine x entre ees deux équations, on trouve

i/yn-

v/dt

qui est une équation linéaire du premier ordre. On trouve en intégrant et en déterminant la constante par la condition que y est égal à 0 pour 1 = 0,

Pour V = t/, on trouve

Il est à remarquer qu’en désignant par z le facteur propre à rendre Mdy-\-Xdx = 0, différentielle exacte et par m = C l’intégrale de cette différentielle, on doit avoir identiquement

Z {Md y -A- Xdx) = du

cl par conséquent

Mdy -A- Ndx = — = 0 ,

(■quation à laqucllcon satisfait soit en posant u = C, ce qui reproduit l’in-

tégrale générale mentionnée plus haut, soit en posant -=0 ou z=ac .

Cette dernière équation donne une relation entre x et y qui ordinairement n’est qu’un cas particulier de l'inlégralc générale correspondant

CIIAPITllE XIII.

à une valeur particulière de la constante arbitraire, c’est-à-dire, une intégrale parliailiérc. Quelquefois elle ne peut se déduire de l’intégrale générale, quelque valeur que l’on donne à la constante arbitraire et forme alors une solution singulière dont il sera question au 181). Si du était divisible par z, comme cela a lieu dans les deux exemples qui précèdent, ce dernier genre de solution n’existerait pas.

178. Séparation des variables, figuations homogènes. — Quand une équation différentielle ne satisfait pas à la condition d'intégrabilité immédiate et qu’on ne peut déterminer [lar les métliodcs précédentes le facteur propre à lui donner cette projiriélé, rintégration n’est jiliis possible que dans des cas particuliers et par des moyens qui doivent être modifiés presque dans eliaque exemple. Le plus simple consiste à séparer s’il est possible, les deux variables, arm de mettre l’équation sous la forme

fgdg = Fxdx.

Cette séparation peut se faire immédiatement j|aiis les équations de la forme

qu’on peut ramener à

et dont l’intégrale est

fx.Fgdij =^fx.}fijdx,

■^g fx

dx -t- C.

La séparation des variables est toujours possible dans les équations différentielles algébriques ipii sont telles, qu’en y remplaçant x parcy, les deux coefficients de dx et de dg prennent la forme et g"'!fZ. Les éqiinlions sont dites alors homogènes. Cela a lieu toutes les fois que la somme des exposants des variables est la même dans eliaque terme des

deux eoelficients, puisque si ceux-ci sont de la forme AxriF, HxFgi'

et qu’on ait

P -t- (/ = p' -I- y' = etc. = 71 ,

en remplaçant! par i/i, ils deviennent Ag’zP, /ig”zr’.... et l’équation différentielle

jtfdg -r- .Vf/x = t)

SC change en

CAI.(;l!l. INTKGtUI..

+- y'-'jzdx ■— 0 ,

(lù yz et jz sont des fonctions de la seule variable z et en reinplaçanl dx (lar zdij -+■ ijdz, cette équation devient

d'où l’on tire

(y? -t- z\z)ij'‘dtj -+- 1/"^ ' !/zdz = 0,

dans laquelle les variables >/ et z sont séparées. Après avoir intégré,

on remettra pour z sa valeur - et l’on aura l'intégrale cherchée.

L’intégration d’une équation différentielle homogène est donc toujours possible, ou du moins, ne dépend que d’une quadrature.

Si l’on applique cette méthode aux équations différentielles

x‘‘dy = y*dx -i- xydx.

I* xy

dy = ydx.

on obtient les transformées

dy ^ z-^\

dz.

On opère aussi la séparation des variables dans une équation différentielle homogène, en transformant les coordonnées rectangulaires X, y en coordonnées polaires r et I; car il faudra poser

X == r cos 1,

y =; r sin t.

î= cot t,

et par suite

= r"sin" I y (cot I),

;V = r' sin" 1 (cot t);

l’équation différentielle deviendra donc en substituant,

dr ji (col t) — col t y (cot I)

r cot / j; (col t) -+- y (cot 1}

CUArlTKE NUI.

Les deux équations diiïérentielles précédentes traitées de celle manière se transforment dans les suivantes :

f/r , . ^ , ffr , . , ,

— = (tang ( -H cosec’ t) dt , 2 — = (lang ( — col t — cosec’ t) dt.

179. Théorème sur les différentielles homogènes. — Lorsqu’une équation düTérentielIc homogène satisfait à la condition d’intégrabilité, son intégrale prend une forme d'une simplicité remarquable. On vient de voir que l'équation différentielle

.Mdg ■+■ .ydx = 0

peutétre mise identiquement par de simples subslilu lions, sous 1a forme

{fZ -t- z}z) g' dij -i- y+' î-îdi = 0; (I)

si donc la première en x et ^ est une différentielle exacte, la deuxième en ^ et z doit l'èlre également; ce qu’on reconnaît directement, du reste en remarquant que, puisque l’on a

AI == ij"yz, jV = y"

la condition d’intégrabilité de la première équation, savoir

dAl (iy

<lx dg

devient, attendu que : est fonction de x et de g ,

d?; dz , , d!fZ dz

t/» = nv"*' -4- v'-T- -p ’

dz dx •’ ^ dz dg

et en observant que

__x dz

g dx dx

y’ fiy

elle prend la forme

CALCl'L IMTÉGRAI..

c’csl-à-dire.

(iJ)

et l’on reconnaît aisément que celte éqiialion est précisément la condition pour que l'équation différentielle (1) en y et : soit une différentielle immédiate. Or, si l’on cherche l’intégrale de (1), en faisant usage de la formule du N” 17i>, savoir :

fNdi + ^ Çm — ^ ^ (/y -t- C = O,

ec qui se fera en changeant x en y et y en z, l’intégrale de (I) devient

que la condition d’intégrabilité représentée pur (2) réduit à

{rz + z-'^z)-^+c = o.

En remettant pour ys et -S^z leur valeur — et — > on trouve que l’in-

gralc de l’équation différentielle

est

Mdy -A- Xdx = O Mij ■+■ .Vx

Un reconnaît ainsi que l’intégrale de

(x* — 2ÿ*) rfy -A- (x* -A- 2xy) rfx = O

qui satisfait aux conditions d’inlégrahilité et d’homogénéité, est

(x* — 2y»)y -»- (x* -t- 2xy) x ^ „

Si l’on emploie comme au N" 178, les coordonnées polaires, on trouve

pour rinlcgralc générale de l’équalion différentielle Mdy -t- Ndx = 0,

A cosee l

|/ y (col l) -+- col l (col I)

(lui lient lieu de l’intégrale (3).

Quand « est égal à — I , la formule qu’on vient de démontrer ne saurait faire connaître l’intégrale et serait en défaut, puisque —

deviendrait inlini. Ce cas est analogue à celui où n = — 1 dans la formule

cl l’intégrale se trouverait en séparant les variables comme au N° 17S. Ainsi