CHAPITRE XIII

cites. — On peut toujours rcconnaitre o priori, si une équation différentielle donnée

Mdy JVdx — 0

est immédiate, e’est-à-dire, si elle est une dilTérenticlIe exacte d’une fonction de deux variables; en effet, si

est l’intégrale, comme la différentielle immédiate de celle-ci est

dy

dy-*-

d B^dx

cette dernière devra être identique avec la précédente , et l’on devra avoir

dfjx, y) df(x, y) y

dy ’ dx

d’où il suit qu’il faut et qu’il suflit que les cocflicicnts .^et .V soient les dérivées partielles d’une certaine fonction /'(x, y) inconnue à la vérité. En dérivant les deux membres de la première par rapport ù x et les deux membres de la seconde par rapport à y, en observant que l’on a (N« 99)

d*f[x, y) ^ d*f{x, y) dx dy dy dx

un est eonduit à l’égalité suivante

dx dy

qui est donc une conséquence nécessaire de l’intcgrabilité immédiate. Or je dis que cette égalité est aussi une condition suflisanle pour assurer cette iiitégrabilité immédiate; en effet, si l’on représente par <p (x, y) l’intégrale de .Vdx prise par rapport à la seule variable x, on aura

dx — ‘

. . dM dN

l’égalité —7- = -7— conduit donc à la suivante

d.tf d»y(x, y) dx dxily