LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES

et si n — i était égal ou supérieur à l’unité,

serait infinie.

1*29. Lorsque la fonction intégrée devient pour les valeurs infinies de .r infiniment plus petite que toute puissance négative de x d’exposant constant, l'intégrale a, à fortiori, une valeur finie; telles sont par exemple les intégrales

I e~‘dx, f e~‘x ’dx, f er'cosxdx.

Valeur principale d'une intégrale.

130. Caucliv a considéré souvent et introduit dans l'énoncé de plusieurs théorèmes des intégrales qui, d’après les règles et les explications précédentes, seraient indéterminées, et auxquelles, à l'aide d'une convention particulièrç, il donne cependant une signification précise.

C’est ici le lieu de faire connaître cette convention qui, malgré le défaut qu’elle présente de sembler absolument arbitraire, a été très-souvent utile.

Soit l'intégrale

dont l'élément devient infini pour la valeur a de x comprise entre a et b. Si, de plus, la fonction 9 { x ) change de signe en devenant infinie, Cauchy nomme valeur princi/tale de l'intégrale la limite de l’expression

Jf 9(x)</x+ I ?(x}dx,

lorsque la lettre t, qui a la même valeur dans les deux intégrales, devient infiniment petite.

Soit par exemple l’intégrale

On a

r^=- i+jL-.

La somme des deux intégrales est nulle, et par conséquent l’expression (i), qui en elle-même est indéterminée, a pour valeur principale zéro.

Calcul direct de quelques intégrales déjinies.

131. Le moyen direct de calculer une intégrale définie consiste à former l'intégrale indéfinie correspondante pour y substituer les deux limites et retrancher l'un de l'autre les résultats obtenus.

On a par exemple

On en conclut

dx

dx

+ UCOSO + *’ S1119

— . — arc ia ne

t .14- cos 9 i cos o o

- — — — arc lang — ; . — arc tarie —

* Sino cl»*'" r.ii^

Ja i + sa- cos? -t- x' sin? ” sin? sin?

«4- ix cos ?4- x* sin ÿ sin