peut arriver que l'intégrale

?(x) dx

soit finie, lors même que la fonction f (a?) devient indéterminée pour une valeur infinie de la variable, mais il faut pour cela que cette fonction change de signe un nombre infini de fois.

Considérons par exemple l'intégrale

I sin x’rfr.

Lorsque x devient infini, sinx’ devient indéterminé, et cependant l'aire totale de la courbe, dont l'équation est

y = siu x1,

est finie et déterminée, parce qu'elle se compose évidemment d'une somme de termes alternativement positifs et négatifs et de plus en plus petits, représentant des segments dont la hauteur est constante et égale à l’unité, mais dont la base diminue indéfiniment.

Soit encore l'intégrale

/■*sinx</x ■

l'exposant n étant compris entre o et a. Cette intégrale peut s’écrire

Jf " sin.r ih /•** sinx ilx (,J”sin.r</x

elle se trouve ainsi changée en une série dont les termes alternativement positifs et négatifs décroissent indéfiniment.

Nous devons supposer n moindre que a, parce que l'on a

sinx sinx i ,