VO

On en déduit aisément les intégrales

Jf ros^x rosanx </x. I cos**^‘x COs(an 4- 1) x</x.

On a en effet (I, 386)

(i) •a’**‘cos*"x = eosamx 4- am cos( im — a jx -+■ • • 4- ■

(a) a*" cos*"*' x r= ros(am 4- i)x 4- (am 4- i)cos(am — i)x 4-.

( a m 4- i ) * m . . . ( m 4- a I 4- 5 cosx.

En multipliant les deux membres de (i) par eosanx<£r, et ceux de (a) par cos(an4~ i ) x dx , et en intégrant entre les limites <> et ir, on trouve, en ayant égard aux formules (138),

. i amfim — i ) . ( m 4~ n -+• i

cos*" X cos an xdx -- =-*—

. . . i (am •+■ 1)2/1*. ..(m -4- ü-f- 2)

/ COS^XCOSllI» -4- î)xdx . J z.

a"' i.a.3. . . (ni — «)

Si l’un suppose m — n, on trouve de même

cos”x cos 2 mx dx = — .

(.9) / eo

( 20 ) f cosJ* *■’ x cos (2w + i)j dx = — - - •

Jo 2

Lorsque m et n sont de parité différente, on a évidemment

J cos" x cos nx dx — o.

On a (I, 386)

a*"( — 1 )“ sin'-x = 2 cos 2 mx — 2 2/ncos( 2 m — a)x

ij*sinw*'x = 2 sin(2/n 4- 1 )x — 2(2 m 4- 1) sin( 3/n — i)x 4-. . . .

et on en conelura

, Z”* . , , 1 am(am — 1). . . (m 4- n 4- 1) tt

(21) I sin**xcos2/jxf/.r — ( — 1)*— - - — 5-- — , ' ,

. , /"* . , , ... r (2m -4- 1 II 2m ). . . (m 4- n 4- 2 \ 17

Ces résultats se retrouveront d'ailleurs comme conséquences d’autres formules plus générales qui seront démontrées ailleurs.

159. Les fonctions cos’"'x cnsa/ir, cos5”,4‘,xcos(an -+- i)x, sin^xcosanx, sin’^'xsinfan -t- i)x, prennent chacune des valeurs égales quand on y fait successivement x = ~ — a et x = - + a. Si donc, dans les intégrales (17), (18), (21)

et (22 ), les limites sont réduites h zéro et -- la valeurdc chacune d’elles deviendra

moitié moindre.