LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES. 13T
considérant cosx<£r comme la différentielle de sinx,
Jcosmx cos nxdx = cos"“'x cosnxsinx + (m — i )j' ros"-',r sin’x cos nxdx + nfc os- xsinx sinnxdx.
En intégrant de nouveau par parties la seconde intégrale du second membre, où eos",-,xsinx(ix est la différentielle de — remplaçant dans la seconde sin’x
par i — cos’x, réduisant les termes semblables et remarquant que le terme intégré disparait aux deux limites, on trouve
cos” ’x cos nx
. rJ .
dx I cos" .r cos nxdx.
Si dans cette équation on suppose m = n, puis successivement m = n — a, m = n — 4,..., m = n — aér, k étant un nombre entier quelconque, on en conclut
cos” Axcosnxtlx=:o.
Mais, par une discontinuité remarquable, qui n'est pas rare dans la théorie des intégrales définies, celte formule cesserait d’ètre exacte si le nombre k était négatif, et l'intégrale
ir
j ' cos’*’‘xcosnxdx
est différente de zéro. On a trouvé (158)
i cos*
x cos nxdx =
Si l’on fait dans l’équation (B) m = n -t- a, m = n - 1- 4 m = n + a k, on
trouvera
cos**’1 x cos nx dx — •
jr (n-*-2i')(n4-aA — i)...(«-t-i' + i) 1.9.3. . . k
Cette formule s’applique, ainsi qne l’équation (iç>) dont on l’a déduite, au cas même où n n’est pas entier; mais nous ne poùvons en donner la démonstration dans ce chapitre.
13T, DEUXIÈME PABTIE. - CALCUL INTEGBAL.
161. La formule de rédudion (B) permet de calculer l'intégrale
f cos” x cos nxdx
toutes les fois que rn est un nombre entier. En l'écrivant en effet sous la forme *
I cos r cas nxdx—- I cos"~’xcosn.rrfj-,
Jç, »<’-«“
on pourra ramener l'exposant m à la valeur zéro ou à la valeur i, en réduisant l'intégrale à
, nr.
sin
çosnxdx — -
cos * cos nxdx —
nr.
cos - •
pourvu toutefois que n ne soit pas un nombre entier de meme parité que m et moindre que lui, car alors, le dénominateur de l'une des formules de réduction étant nul, la méthode serait en défaut.
On trouve ainsi
J ^ am(im — t)...a.i.sin{an + i)-
cos”,xcos(i»-t-i)x = s— — j- — - — r-.-. — - — -, r-, — . ■ , , ,rf; ,,
Jcos"'*'
