LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES

Formule de Jacobi.

207. On a trouvé (157), (t60), en nommant m et n lieux entiers positifs tels que m > n,

/ siiP'x cos ".r dx =r ' “■ s — '

( Jt m -r ? n } ( i m -+- * n —

cos^x cos a nx dx

sin^x costnxdx

i am(am — i). . • (m *4- n -4- 1) n

a** ita,S...(m — n ) a’

cos***1 t cos( u + i|xi/x

= (-')* J* si

sin:"'.r s i n ( •>« -t-ijxi/x

i (»w + i)im..;[«-Hi + t) rr

*■*+' i.ii .3. .. (m— n) a’

les deux dernifci*cs sont comprises dans In formule plus générale

cos'x cos/x f/x —

qui suppose seulement que la différence p — i soit un nombre pair. Celte formule peut s’écrire encore

‘cos'x cosixdx = P(P-£±£P-ϱ£ *

qui. à cause des formules (i), donne

cos' x cos ix dx =

sin^xcos'-'xdx.

Cette équation suppose que la différence/» — «’ soit un nombre pair. Si l’on double la limite supérieure, les deux membres doubleront et resteront égaux, et comme

ils sont tous (Ipux égaux à zéro, lorsque la différence p — i est impaire,, la formule

ainsi modifiée

(3 / cos'x cosôrrfx SIR- — J f" : , 4 .1..'/ sln’‘xcosr ‘xdx

J„ i.ï.3... (ai — i) Ja

a lieu pour toutes les valeurs entières des nombres p et i, tels que l’on ait p — i >o.

208. Jaeobi a déduit des résultats précédents une formule très-générale pour la transformation d’une classe d'intégrales définies.

Soit 9 (s) une fonction développable suivant les puissances entières de z et

ç ( î) = A. 4- A, 2 -l- A, -+- . . . -+■ A, zf -+ . . . .

En désignant par -J (s) la dérivée d'ordre i, on a

?'(*)= 2 P(P~ (P — i + et d’après l’équation (3) on en conclut immédiatement

J 9 ( cos x ) cos ix i/x — A, f cos'x r os ix dx —