LIVRE PREMIER. — INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES

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Formule de M. Kummer.

209. Soit <f[x\ une fonction quelconque à laquelle soit applicable le théorème de Taylor, en sorte que

Posons ce qui donne

J + * = f (l + COS A? -4- y1* — I sin2Vj r= 2X COSVl?rv ‘

par conséquent

?(*■* COSvW-*) = y ( x) •+• jre»v - ' y'( x) -+- ~ e"v,r; ç'(x ) + . . . .

Multipliant par dv et intégrant les limites v = — * n et v = i jr, on trouve

I o ( 2 x cosee'C-'J dv = sin nr F

i.a.(n -+• jj

De même, en posant a = — xtv, on a

Multipliant par n>"~' dtv et intégrant entre les limites «■ = u et r = i, 011 trouve la même série exprimée par cette autre intégrale

/o V~ * (x - M) *= i 9(*> - ^ ?V) + ~TT) ?'(-) — •.

et en égalant les deux expressions de la même série

9 °i I 9 (a JCOSve'»'-') «W-* dv — sinnr / w—{ 9 ix — xw) d<v. \

Si l’on pose iv = i — «

I p^urcosve’»'' dve= sinon Ç (i — uY~' f(xu)diu

Soit ? (x) = xm. Cette formule donne, quand on a chassé les imaginaires et divisé par xm.

/(a cosi’)"cos(m 4- ajt )vdv = sinon I «*(» — n)*-' du. it Jo

210, Lorsque dans la formule (yi) on attribue à n une valeur entière k, sinon devient nul, et le premier membre est en général égal k'zéro. Je dis en général, car il Taut excepter le cas où l’intégrale qui ligure au second membre serait infinie. Lorsque cela n’a pas lieu, divisons les deux membres de (yi) par sinon, puis donnons à n la valeur entière k ; le premier membre, d’après ce que

nous venons de dire, prendra la forme et l'on aura, en le remplaçant par sa véritable valeur, égale au rapport des dérivées,

•• Tl

^ i ~ /Sî /• I

— — 1 — j— I a 2 J" COsi'e'v"-1 / (I — Cl )*~ 1 ç> [tu ) du.

Ttcosltr.j r Ja

Si Toh fait k = i , Z*1'*” •+'

2 __ /*1 ' $3 , — . — i & ( ix cosve*'» vdv =: I 9 (tu )<///.

Soit f(x) on aura

— I (i COSI'/— ' e(*** 'V-' vdv = -,

TTy-i./ '• »

et en faisant disparaître les imaginaires

I (a cosv)’-1 sin(n 4- i)v

dv :