LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES

211. M. Kunimnr a fait connaître d'autres formules qui, en établisstnl des relations entre certaines intégrales définies et la somme de séries qui s’en déduisent, permettent de calculer les unes lorsque les autres sont connues.

Soit

jf U f(u,k)dh

une intégrale définie dans laquelle U désigne une fonction quelconque de u ; supposons que, par un choix convenable de celte fonction, on ait trouvé une relation de la forme

I V/lu, k)drt-Bl I U/(«, ojrfu.

Ba étant une fonction connue de k.

Posons

et supposons que y (u) soit une fonction connue.

On aura

Ç ^(n)Urf«= /"(«, o)U r/u -*- A,jf /(«, i ) 13 du ■+■ •

et d’après la relation (a) qui a été supposée

f U 9 ( «) du = / Vf( u, o) du ( A, B, -+- A, B, -t- . . . ■+- A, B. ■+■ . . . ),

c’est-à-dire

rb

I \j <f[U)dn

f Vf{u,o)du

s'il

M. Kumnier a employé élégamment cette formule pour la détermination de plusieurs intégrales définies.

L’intégration par parties donne

f '</«=? *{*-»- 1)... (a -»-*• — i) Ç e~mu*~'du.

Posons donc dans les formules précédentes

U = e-ii*-\ f{u,k) = u‘.