LIVRE PREMIER. — INTÉGRALES DÉFINIES CT INDÉFINIES. ïil

L’intégrale étant indépendante de a, on peut, sans changer sa valeur, y supposer a = i; elle devient alors

Mais on a

ff— ),/, I ' — \

el par conséquent, en remarquant que pour .r = i

/ ' I— — - ) ilx-ln .

Jo — x 1 — x"!

et aussi

I ‘ ( - nr-— - In.

Jo \l — r 1 — x")

Formule de Frullnni.

275. Frullani a lait connaître une formule très-générale qui, malgré quelques restrictions auxquelles elle est soumise, contient un nombre infini de résultats particuliers.

On a, quelle que soit la fonction y.

Posons

Jo X a

Si l’on fait ax = zt on aura

u étant indépendant de a conserve la même valeur si celte constante est remplacée par uué autre, b par exemple, et l'on a

c j ° •' ,/r n{hx)-^d* *

Jo * Jo *

et par conséquent

36 rS!SL>dr- f 5 f *-(-°J<Ar = rKïîrfr = , (•)/*. A * .'o * Jo * A * A * “

Le premier membre peut s’écrire

«far - / ^'.Ar,

et si l’on suppose A infini, on a enfin

3,) * /*"l(f£)-liêï)'<b==?(.)‘/*.

c'est la formule tic Frullani.

La démonstration est fondée, on le voit, sur ce que A devenant infini, fin tégrale

<Ar.

dont les deux limites deviennent infinies; se réduit alors à zéro. Il en est quelquefois autrement, car çcs limites, infinies toutes deux, sont infiniment écartées I'uro de l’autre. Il y a donc, dans chaque cas, un examen il faire avant d'appliquer la formule.