LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES

fc - - U - « - ( — + *' + *— + • V

\ lJ\pi Ttp'U* Sp'fX.1 J

Supposons p très-grand par rapport à lt3f on aura, en négligeant ~ et — 4>

s — — •+- 1 ti + - J - i ’,»

pu \ 2/ pu ■* p1 (JL1

ou, à cause de n = pp%

ip p \ 2 n /

ifi-*.-)

On Irouveru au mémo ordre d'approximation

V FV/

et, à cause do -t- q = i. la formule (5/j) devient

— : - e~ ÿ * f * > ■ r 1 ^ ~ 1 — -T- -■ ‘ffi [ I .(/,•( — W |.

v7' VV yjtjivf v1/ * . 2 o 2»i/ J

Le terme placé à égaie distance du terme maximum s’obtiendrait en changeant dans celui-ci k en — k ; leur somme est par conséquent

Si l’on pose

ou a

a. — - e ‘rrf.

/■■ , lu pq ’

/. = / y^au /!</ .

cjl étant très-grand, la variation d’une unité sur le nombre k correspondra à une

variation très-petite de t , égale b — J • La somme des termes compris entre le

Va u /»</

plus grand et ceux qui dans un sens ou dans l’autre sont placés k k rangs de lui

pourra elle remplacé par l'intégrale

a HV

expression ircs-simplc de la somme demandée qui leml vers l’unité (153 ) lorsque p augmente indéfiniment.

Intégrales Eulcrienncs de première espère. 321. Legendre a nommé l’intégrale

x?-' ( i — x)i~' dx

intégrale Eulirienne de première espèce. Suivant une notation adoptée par plusieurs auteurs, nous la désignerons par 1! p, q).

La fonction B: /j, q) se ramène aisément, nous allons le montrer, aux intégrales de seconde espèce désignées par 1’.

Remarquons d’abord que H p, q) est une fonction symétrique des deux variables p et q. Si l’on pose en effet x — i — y, l'intégrale ( i j devient

I rf-(i -yY'dy= b;#/, />;.

et l'on a, par conséquent, Si l'on pose dans (i j

H(<l,p) = tHp,q).

on a

JC x

. ïT+7r*ds’

et par conséquent aussi, à cause de la symétrie démontrée,

On déduit des formules (a; et (3)

I /'x if-' -4-