LIVRE PREMIER. - IN TÊT. R Al. ES DEFIMES ET INDEFINIES

On a en clfel, en intégrant par parties,

j xe i|q x ) dx .V j 'ji(. r)dx — [> j' rf ’ i/x j'-l x dx

i' j ■]. ( r dx — p.rr " j dx dx + plp — i) ÇxP 'tix j dx j <Ji(x)i/x

xffty\x}dx — px? ‘ j dx j ’(i(.r' dx -+- p p — i )xr-’ Çdx j'dxj^(x)dx — p p — i )! p — *) J x*' 'dx j'd.rj'dxj',li(x'dx:

la loi est évidente; en continuant jusqu'à épui«er l'exposant île x, et en représentant. pour abréger, par

f $(x)dxl

l'intégration k fois répétée f dx f dx j- ■ <j,Er d.r, on a

I ri'<\i(x)dx — xr f ÿ[x dx — pxl—' f tytxi dx' ■+■ p{p — il Ç ty(x)dx' -h... dt i.a.'l. . ./> j 'lflx)dx>

Mais/» -+- i jetant au plus égal à n, toutes les intégrales indiquées peuvent s'effectuer, car ty(x) est une dérivée (n 4- el donnent pour résultat des polynômes qui, contenant à chaque terme un facteur x et un facteur i — x au moins, sont tous nuis aux deux limites; on a, par conséquent, comme il a été annoncé.

xr-if x)dx o.

Toutes les racines de l'équation (6) x"*'(i — x)**‘ = o

sont réelles, n -+- i d'entre elles égales à zéro, et les n -I- i autres égales à l'unité, et, par conséquent, d'après un théorème très-connu d'algèbre, toutes les racines des dérivées successives, et en particulier celles de la [n- 1- i sont réelles aussi et comprises entre zéro et i.

I,a forme de l’équation '(> montre que les racines de l'équation ty!x) = o ont ilcux à deux pour somme l’unité, et. quand leur nombre est impair, l'une d’elles

par conséquent est égale à -•

ali DEUXIEME PARTIE. — CALCIL INTÉGRAL.

En adoptant ces valeurs pour.r,,, x l'intégrale proposée sera remplacée

par

I lUr.

R, étant un polynôme de degré n qui devient égal à f (x) pour les valeurs .r„. x de la variable, est délerminé par celte condition et égal à

y" ?' r,.'. (x — x,!(x — x,). . . (x — x. ) éa» x x,

qui la remplit évidemment si l’on prend

Tr = • • (x, — x,,)(x, — x,*,)... (x, — x.L

La valeur approchée de f <f(x tir prend d’après cela la Forme

') I K ilx r:A, 5 x.j H- A, ÿ(*i) A. o ; x»).

Nous donnons ici les valeurs de .r0 , ,r, x„ et les logarithmes des Facteurs

correspondants pour les cinq premières valeurs de n :

Pour n = o,

x, — o.éi A, — i

Pour n — i , .

log - 9.4*98 9700

Pour n = a.

x, •=■= 0, 1 1 17 oif>5

log ~ 9,84? 8175

Pour n = 3,

x. = o,33oo <m) |8

A* A, -- 0,173 *|t»74 A,r*. Aj — o,3a(î 0776

log 9,xjo 368l log 9,5 1 3 3 1 43

Xr o,(i(iqt) t

x, ot«)3o'ï (>8t(»