I.IVRP PREMIER - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES

— 0,Ï1)00<)->*7Î01 y\ r a,3455f)oç)o3t), .

* ( r. -t- y, ■+■ r, -4- y, T y. + y„ ) 3,n3i884gi86:

iraillcnrs

et la fornnilfi'f 5) donnera

dx = 04*7110 1*457

avec trois rbiffres exacts seulement, c'csl-ii-dire le même nombre que par l'emploi de la formule de Cotes, lorsqu'on y supposant n=. 5, on a à calculer un nombre moitié moindre d’ordonnées. Les multiplicateurs, il est vrai, sont plus simples dans la formule de Simpson; mais il est rare que cet avantage compense l’inconvénient d'une moindre exactitude ou, ce qui revient au même, la nécessité d’accroître le nombre des ordonnées pour obtenir une approximation suffisante.

Méthode de finit ss.

369. Gauss a remarqué fort ingénieusement qu'il y a avantage à substituer aux ordonnées équidistantes considérées par Cotes des ordonnées dont les abscisses se succèdent suivant une loi qu'il a fait connaître et qui, dans le plus grand nombre de cas, assure, pour un même nombre d'ordonnées, une approximation beaucoup plus grande.

Considérons une intégrale de la forme

J <f{x)dx.

à laquelle on peut, comme on l'a vu : 363), ramener toute intégrale prise entre

deux limites finies a et b. Soit

?( x ) — a, -f- n, x 4- «, x’ 4- . . . ■+■ ii, x" 4- n^,, x“ 1 •+ . ■ ■ .

Supposons que l’on calcule n -t- î valeurs de ç xj correspondant aux abscisses

xB, x x * comprises entre zéro et l'unité, et que l’on substitue ensuite à 9 .r

la fonction entière de degré n qui coïncide avec elle pour ces valeurs choisies de

la variable, l’erreur commise sera nulle, quels que soient .r„. x x„, si la

fonction flx) se réduit à un polynôme entier de degré inférieur à#+t. Gauss se propose de choisir ces abscisses de telle sorte que le degré du polynôme puisse s’élever jusqu'à an sans que l’erreur cesse d'étre nulle, et si alors la fonction f (a?) est représentée par une série convergente en la concevant comme composée de deux parties, les an- 1- 1 premiers termes d’une part, et la somme de tous les autres d’autre part, c'cst sur l’intégrale de la seconde que portera l'erreur, qui sans cela aurait été commise à partir du (n-t- 1 "w terme.

Soient xB, x, x„ les abscisses qui remplissent les conditions énoncées, et

En nommant f{x) un polynôme de degré inférieur à an -t- 1, (J le quotient de la division de ce polynôme par ’x) cl H le reste, Q étant un polynôme de degré n — 1 et R un polynôme de degré n au plus, on aura

!{x) — Qt}i .r) -r R.

Or la méthode d’interpolation revient dans ce cas à remplacer f{x) par le polynôme R qui lui est évidemment égal pour les valeurs .r», x x„ de .r qui annulent l’erreur commise est donc

et pour être assuré que cette erreur est nulle, il su Hit de déterminer tytx) par les conditions

I ÿtx) i/.r r= o. / x ’li x )ifx n, ... I x • 1 •\i(x)il.r a.

On y satisfait en prenant