X — COS

2 /»! TT ( 2f AT — 1 « . 2/1 4-1

> sin arc tang — - »

jî/14-1 2/I-4-I P . 2AP— i)r

4 = 1 Sin ;

2rt + l

A — 1„ vl

fx~-'itx 1 , (— i)”*' •v irts(air— 1) , I"

/ — = -/ 1— j +•' > cos — /

J i — x*"*' in+i «t + i an + i

(ïA — l)îT

i-t-ax cos — ■ — hx

an -F- 1

x -+- cos

( => A- — t ) TT

IstA+l

a( — 1 (— ■• va mnltlf — 1) îb+ 1

+ ■ — V sin — arc une — ,

an -+- 1 sn + i ,(aA- — i)it

t, sin ■

Simplification de la méthode dans des cas particuliers.

2.V La méthode générale sullit dans tous les cas pour intégrer une différentielle rationnelle, mais il est souvent plus simple d’éviter la décomposition en fractions simples et d'opérer directement sur la différentielle proposée.

Soit par exemple l’intégrale

/’ xdx

En posant x1 = s, elle devient

1 Ç il: 1

- I ■ — -arcungi,

et par conséquent

Ç xdx

arc tang x’

26. On peut, dans un grand nombre de cas, appliquer des formules de réduclions successives analogues à celles qui nous ont permis de calculer

Considérons la différentielle

.r"-' <ir(« 4- bx“

qui, lorsque m, n, /> sont des nombres entiers positifs ou négatifs, appartient à la classe des différentielles rationnelles qui nous occupe actuellement. Il existe pour la réduire dans tous les cas des formules qui, lors même où elle est rationnelle, permettent de l’intégrer plus simplement que par l'application des méthodes générales. On a

! x" dx(u 4- bx")f = |ï“ 'x‘~'dx[a+bx‘)p,

et en remarquant que;r",<£r a + bx" '’est la différentielle de , a+bx"f*\

on a, en intégrant par partie.

Jx” ' Jx(u 4- bx*y - — ï-r — - : a 4- bx' - / x“* ' (a 4- 6x“)e*' rfr. nb[p-xiy nb{p-i-\)J

Remplaçant dans le second membre (a + bx“f* ' par {a 4- h.x"/ a ■+■ [a 4- br” p b. r" et faisant passer dans le premier membre l'intégrale semblable à celle qui s’y trouve déjà, on trouve

j xm~'ilx(a