LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÊVEI-OPPEMENTS. 3IÎ

fixe. Soient MP, MP' les perpendiculaires abaissées sur les tangentes aux points

infiniment voisins A et A'. En nommant e l'angle do contingence correspondant à l'arc AA’, on a. en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur au premier.

(9) MPP' — ~ MP't,

et eD nommant I le point de rencontre des tangentes

PIP' -Pis.

Mais si l’on nomme X l’aire de la courbe lieu du point P et S l’aire de la courbe AA', on a évidemment

par conséquent ti3)

X=£ MPP ,

X = S+y PIP ;

x = s/MP‘*

et on en déduit en ajoutant

(i5) = J(MpVAP’)* = S-t- ^ J r’i,

et cette formule, comparée à (H), démontre le théorème de Steiner.

392. La somme J r*i, qui figure dans les expressions 8; et (t5), est la seule

partie des deux surfaces considérées qui varie avec la position du point M sur le plan de la courbe donnée à laquelle il est lié. Les lois île variation de celte expression sont fort simples. Elles peuvent se rattacher à une propriété très-connue du centre de gravité. Que l’on attribue en effet à chaque élément de la courbe

31» i DEUXIEME rARTIK. - CALCUL INTÉGRAL.

une densité inversement proportionnelle à son rayon île courbure, de telle sorte

que la niasse de l'clément t/s soit égale à » ou, ce qui revient au même, à l'angle

de contingence t : la somme Ç r2e est la somme de ces masses élémentaires multipliées chacune par le carré de la distance au point M; or on sait qu'une telle somme est minima quand le point M est placé au centre de gravité G de l'ensemble des masses, et que la valeur relative à tout autre point M est égale à cette

valeur minima augmentée de la masse totale | i, c’est-à-dire 4», multipliée par.le carré de la distance GM.

Il résulte évidemment de cette remarque que le lieu des points qui sur un plan, dans le roulement d'une courbe donnée, engendrent des roulettes de même aire est un cercle dont le centre engendre la roulette d’aire minium.

Il est aisé de prouver directement que, quelle que soit la forme de la courbe donnée, le lieu des points tels que le lieu des pieds de perpendiculaires abaissées sur les tangentes enferme une aire donnée est un cercle dont le centre est indépendant de la valeur de cette aire.

Soient AHKI la courbe donnée et MP, MP' les perpendiculaires abaissées du

point M sur deux tangentes voisines, l’aire de la courbe Ply est évidemment

j MP’e.

g désignant l'angle des deux perpendiculaires MP, MP', égal à celui des tangentes. Soit 0 l'angle de l'une des tangentes avec l'axe des X, son équation est de la forme

x sinfi — y cos 0 = o,

p étant une fonction de 0. Soient a et j3 les coordonnées du point M, on a

MP = a sin9 — Jî eosO />,

LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS, cl par conséquent l'aire totale de la courbe lieu des points p est

ün a

{ x sin 0 — 3 cos 0 H- p )3 d 9

sin 0 cos 0 i/0

/»■»» /**ir

— «* / sin1 0J0 -4- 3* / cos *0d0 — I s J O «/o Jn

J fin /»»x

' p'sinOdû — ifi j p cosG d9 + I p’dO.

O v O vo

sln’Orf® = n, ros ’OdO ~ e, sin® cosOdO o.

et par conséquent l’aire chercliée, considérée comme fonction de a et de fi, est exprimée par un polynôme de second degré, dont les termes tlu second degré se réduisent à «a1 + nfi7. el en l'égalant à une constante, on aura par conséquent l'équation d'un cercle.

Théorème de M. ffolditch.

303. Si dans une courbe fermée on inscrit une corde de longueur constante c-t-c\ le point qui la divise en deux segments c et c’ décrit une courbe dont l’aire est égale à celle de la courbe donnée diminuée du produit ncc\ en sorte que l’aire comprise entre les deux courbes, dont l'une est entièrement arbitraire, est exprimée exactement par ncc\

Soient AB la corde dans l'une de ses positions el P le point décrivant, de telle sorte que l’on ait AP = c, BP = c". Soit Q le point d’intersection de la corde avec

sa position infiniment voisine, c’est-à-dire (I, 101) le point de contact avec son enveloppe. Soient [A] l’aire de la courbe donnée, [PJ et Q] celles des courbes engendrées par les points P et Q, AQ = r, BQ == c + c' — r.

3fifi DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.

On a évidemment

et aussi

[A]-[Q] = i f ’%'de

[A] — [Qi rprfS:

dQ désignant l’angle de deux eordes voisines, on en conclut

vft J O

et, en supprimant le terme commun,

et par suite

Je™

rd9 — (c + e')» / dit,

ft i/fl

Mais on a évidemment aussi

[P1-(Q]= ’ f"(c-r)'dû;

<lom\ h cauw» île (i6)*

[ A | — [P] = — / ( 2cr — c^tfS — c I rr/5 — îr<r’,

cl, à cause de (17),

[A] — [PJ = rr|r-f-e') — re’= r.cc,

ee qu’il fallait démontrer.

longueur d’un arc de courbe.

394. On a donné (I, 118) diverses expressions de la différentielle d’un are de courhe, chacune d’elles ramène évidemment la détermination de l’an- au calcul d’une intégrale.

Arc d’ellipse. — Soient « et b les arcs d’une ellipse dont l'équation est

On »

LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS. lia’ = dx1 +(!)■'— dx‘ ^ i -t- j ’

,/J= dx i fi Z~7,*r~ = £ a/®E§?,

V A’rt'ta' — Jt'J « y «'— *

ou, en posant

da : dx

et le ealeut de s exige une intégration qu'il est impossible d'effectuer sous forme finie; l’arc d'ellipse, en effet, dépend de fonctions transcendantes auxi|uelles on a donné, pour cette raison, le nom de fonctions elliptiques.