Si l’on pose

x — a cos y, y = « sin y,

on trouve

ds‘ — dx'+ <ly‘ — (/y’(«’ cos’y + sin'y ), ou, en adoptant la notation déjà indiquée,

da — u d y \li — e' sio’y,

18 a — n I //y v i — «' Sili’y,

39(i. Arc d’ hyperbole. — Soit l'équation d'uue hyper-

liole. On en déduit, en posant — = e-.

et, par conséquent.

/ tf‘Xl

On satisfait à l'équation

cri posant

a isinç

COS 9 '* cos 9 ’

(Poil Pon déduit celle seconde expression

Posons encore

ils = — v- v't’ + fl’ sin’o .

cos’ 9 *

s ----- I , A- -t- «’ sm'o.

J cos' a

.» -- - langç»,

c désignant, comme plus haut, la distance du rentre au loyer y a3 -+- h7 , on déduira de l'équation de la courlic

• n ' c ' . Il — —

x il— - sm’v — — il — e’sm’o

cos 9 \ n‘ eus 9

et

ils — \'ilx‘ -+- <(r‘ — - . - </o,

c CO s* 9 y i — e'sin'9

l>: j’ <h c J cos’a — e1 sin'9

Celte intégrale peut être ramenée à deux autres plus simples. On a en effet identiquement, comme on s’en assure par des réductions évidentes,

</ 'iaogV y 1 — »’ sin’ç ) = il 9 y'i — e’ siii’9 ■+• — il9 — ■ — — — — - — — 7-= 1/9,

y'i — e'sin’o cos’9 y 1 — e’ sin’9

et par conséquent, comme b 7 = a7[e 7 — 1),

(ai) « = - [e-— i)l — ~ = - lang9 y 1 — e’ sin’ç

e l cos’9 yi — f' si 11 ’ 9 e

a /*, , .—7-, n C do

~ ~ d çv 1- e’sin’9 -f-- I 7~~rTv' ’ j e J y* — .«* su»1®

et si l’on prend les intégrales entre les limites zéro et 9, l’arc commencera au point pour lequel 9 = o, c'est-à-dire au sommet de la courbe.

Si Pon calcule la perpendiculaire abaissée du centre sur la normale, ou, ce qui revient au même, la distance de l'extrémité de Parc considéré à la projection du centre sur la tangente, on la trouve égale à

tango y 1 — e’sin’o,