Soit par exemple
on aura
L1VHE SECOND. - APPLICATM INS ET DÉVELOPPEMENTS, cl par conséquent
exy+C^Jdx y -lTrr +J dy y/ -, — :
c'est une relation (394) entre deux ares de l'hyperbole dont l'équation est
ara
Soient OP et OQ deux abscisses liées par l'équation i ) qui équivaut h «-**) i — j,'
OF et OQ' un autre système de solutions, M, N, M', N' les points correspondants
fit
o f r q- q * “ jf
de la courbe, on aura
MM - NN' - OP.OQ - OP'.OQ'.
412. On peut, par un procédé semblable, trouver une relation entre trois intégrales. Soient .r, y, z trois variables liées par une relation symétrique telle que
xy = rf(Z , xt — tfly). yz = g{x).
On a identiquement
xydz -t- yz dx H- xz dy — dxyz ;
par conséquent x, y, z, x,,y„ z, désignent deux systèmes de valeurs des variables
• xyz — x,y,z,= f g(x)dx+l g{y)dy+f g [z)dz.
• . J x \ Jy% J r,
Soient, par exemple, les équations
r+y + ! = o, xr xz + yz
On en déduit
et
Mais on a
i"" 7^--? = çf-n
jf? ( x ; <lx -+- I z(y)tty -+- j zl,:)th = xyz -4- C.
et l'équation devient
3 2 I — : — rfi + i </)• -t- 2 I i/r H 1 4- - = xyz ■+■ C.
Mais la seconde des équations i j donne
par conséquent, en nommant jc, y, a, a;,, y,, z, deux systèmes de solution des équations 'i).
l’intégrale
représente l’are de l’hyperbole dont l’équation est
xy i ,
et par conséquent la formule !\, exprime la somme des trois arcs convenablement choisis sur une hyperbole équilatère, et qui isolément ne pourraient pas être calculés.
h 13. M. Talbot a lait connoitre d’autres formules, en grand nombre, dans lesquelles une somme de différentielles, dont aucune n’est intégrable, peut s’exprimer aisément par la théorie des fonctions symétriques, en permettant ainsi. d’évaluer la somme de leurs intégrales.
' I.IVBE SECOND - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS. Considérons, pour en donner un exemple, l'équation
X' — vx +1 = 0,
et soient ar, et ses deux racines. On a
par conséquent
Or
donc
et
Jx, s/' ~*r' + Jx’ ~ + '/x,)
X, 4- X, =r v, Jx I 4- Jx, = Jv ;
Jx, 1 + Jxi y/ ‘ ^ X| = Jv y'e
f dx' l~^*1 + / ,/x> \J =J'*' = 3 e34- C = | (x,4- X,)’ 4- C,
ou, en posant x, = Z3, x, = u3,
/3 et u3 étant les deux racines de l’équation liées évidemment par la seule relation
et l’intégrale exprimant (406 ) l’are de la courbe
Cette équation établit une relation entre deux arcs d’une telle courbe et équivaut, il est aisé de le voir, au théorème de Fagnano démontré (406).
