La différentielle
dx
se eliangc en mie autre de même forme quand on pose
< In a en effet
Fagnano a déduit de cette remarque un théorème fort célèbre qui permet d’assigner des arcs de même longueur sur la courbe nommée lemniscale.
La lemniscale a pour équation
X 4- )■' II y 2 y X'—
On peut obtenir les différents points en posant
On a, en adoptant « pour variable,
ils = y dx’ 4- dy‘
a iln y a y« — n‘
et, en nommant s l’are compté à partir de l’origine,
a du y 2 y n — n
Si l’on pose
on aura
Mais le second membre représenle l'arc de Icmniscatc compris entre les points <|iii correspondent h « = j ^ et à u = i. Si donc on considère sur la courbe, qui a la forme représentée sur la figure, deux arcs OM, AM', terminés aux points M et M’
jl î
qui correspondent aux valeurs c et | | de la variable u, ces arcs auront même
longueur; cl un arc quelconque étant donné à partir du point O, on peut assigner un arc égal porté à partir du point A.
Si l’on pose
les points M et M' se confondent et leur position commune divisera en deux parties égales le quart AO de la leraniscate.
La variable adoptée par Fagnano n’est pas celle dont l'emploi est le plus élégant. L’équation de la Icinniscate en coordonnées polaires étant
p = « V'icosk»,
les points M et M’ où se terminent les arcs égaux correspnndcnl aux arcs et >at qui satisfont à la condition
cosw, cosw, =
•408. On doit également à Fagnano un théorème élégant sur la comparaison «les ares d'ellipse.
Si l’on cherche sur un quart d’ellipse un point >1 tel, que la distance comprise entre ce point et la perpendiculaire OP abaissée du centre sur la tangente soit égale
à une ligne donnée /, on trouvera deux solutions et par conséquent deux points M et M' tels, que MP = M'P' = /.
A et II étant les extrémités des deux axes, on a
arc B.M — arc AM = I.
Pour le démontrer, considérons l’équation de l’ellipse
On a
MP* = *> + y’- —
Si l’on pose MP = /, xs-t-v’ = rJ, on trouve aisément, en prenant r’ pour inconnue,
Si donc r\ et r\ sont les rayons vecteurs de deux points M et M', on a
et par conséquent
( A ) c, ilr, + r, rtr, — I il! .
Or on a, pour une courbe quelconque,
tir
. dr ns = r . :
l’équation (A) peut donc s’écrire
c'eBt-à-dire
dr, dr. „ r, -y- + r, — — <11.
ds, -4- ils , • </!.
ds, et ds, étant les déplacements infiniment petits des points M et M' lorsque / augmente de dl; mais dr, et dr , sont évidemment de signes eontraires, et il en est de même de ds, et ds% considérés comme comptés à partir d’une même origine, en sorte que
donc
ils, — il BAI , ils, — - il AM1 .
il BM - rf AM' ■- .//,
et en intégrant, comme KM et AM' sont nuis en même temps que /,
B\l — AM' = 1,
ce qui est le théorème de Fagnano.
Théorème de I/. Cliaslex .
409. Euler a résolu sur les arcs d’ellipse un problème plus général que celui de Fagnano. Il a donné le moyen d'obtenir une infinité d’arcs dont la différence avec un arc douné quelconque soit rectifiable, sans qu'il soit nécessaire, comme dans le théorème de Fagnano, que les arcs se terminent aux sommets de l'ellipse.
Nous donnerons seulement ici la solution élégante de M. Chasles qui repose sur le Icmmc suivant :
Deux ellipses homofocales étant données, si par un point de l'une d'elles on mène deux tangentes à l'autre, ees tangentes font des angles égaux avec la normale au point d'où elles sont issues.
De cette proposition très-aisée à vérifier, M. Chasles déduit le théorème suivant :
Si par un /roint M de l'une des ellipses on mène à l'autre des tangentes MT, MT’,
la différence MT -+- MT* — TT' entre la somme des deux tangentes et l'arc qui sépare leurs points de ronlact est constante, quel que soit te point M.
Pour prouver ce théorème, il suffit de faire voir qu’en substituant au point M le point voisin M,, la différentielle de MT -t- MT' — TT' est égale h zéro.
Lorsqu’cn effet MT devient M, T, el MT', M, T', , en nommant 5 l’angle que ces droites forment avec MM,, on a fl, 21
</MT =MM, cosO — TT,, i/MT' = - MM, cos0 -f T, T',;
donc
(/MT + d M' ï' = T, T', - TT, = dTT ,
el par conséquent
il MT i MT' — TT' —o.
La différence MT -+- MT'— TT' est donc constante, et la différence de l’arc TT' avec tout autre arc compris entre les points de contact des tangentes issues d’un point quelconque de l’ellipse M est par conséquent rectifiable.
Méthode de M. Talbot.
410. M. Talbot a déduit d’une méthode fort simple un grand nombre de formules analogues à celles de Fagnano.
On a, quelle que soit la relation entre x et v,
• j‘ x dy -t- j y dx — xy -+- C,
si les deux variables sont liées par une équation symétrique qui donne
x=sçiy;
ç désignant la même fonction; on a, par conséquent.
J"?' X* ^ + f ?(*'} dx = xy
ce qui donne une relation entre deux intégrales de même forme que souvent ou ne saurait exprimer ni l’une ni l’autre sous forme finie.
