LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS. 4Ki

commencera par déterminer le cylindre circonscrit parallèle à l'axe des Z el dont la base sur le plan des XY nous fera connaître la portion de ce plan sur laquelle se projette le volume cherché qui deviendra la différence de deux des cylindres dont nous avuns étudié l'expression. L'équation de la surface étant

les points de contact avec le cylindre circonscrit sont ceux pour lesquels la normale étant perpendiculaire à l'axe des z, on a

L'élimination de ; entre les équations (it cl (a donnera l'équation du con tour apparent qui sert de base aux deux cylindres dont la dilîérence est le volume cherché. En nommant i, et z, les valeurs de ; qui correspondent aux coordonnées .r et y, on a évidemment

les limites étant déterminées d'après la forme du contour apparent, comme il a été dit (4*3).

Si les parallèles à l’axe des : coupaient en plus de deux points la surface qui limite le volume, les intersections seraient toujours en nombre pair. Soient s,, z,. j)t s,, leurs ordonnées, l’élément de volume serait alors

( z. — r, -i- î, — 3, 4- z, — s, i ilx dy,

el l'intégration se ferait de la meme manière que dans le cas précédent.

448. Le choix îles surfaces élémentaires dans lesquelles on décompose la projection du volume sur le plan des XY est entièrement arbitraire, et les éléments rectangulaires dxdy peuvent être remplacés par d'autres qui. dans certains cas. donneront lieu à des calculs plus simples.

Il est souvent commode par exemple d’employer des coordonnées polaires. En menant par l’origine dans le plan des XY une série de rayons vecteurs coupés orthogonalement par une série de cercles, l’élément infiniment petit compris entre les rayons vecteurs correspondant aux angles tu cl « -t- d',> el les cercles correspondant aux angles p ■+ dp a pour surface

p d r.i do.

Lu volume du parallclipipède dont il est la hase est donc

(3) ! Si — Ii I 0 l/'.l lit,.

Eu nommant j, et s, lus ordonnées des deux points où la parallèle à Taxe des 7, menée par un point de cet élément rencontre la sulfure qui limite le volume, ou intégrera l’expression (H; par rapport à s en considérant comme constant et entre deux limites qui seront les valeurs de » qui, dans l'équation de la courbe limite, correspondent à la valeur considérée de '•>. On obtiendra ainsi

i^otJ “i — "• f* dp»

et celle expression, qui ne contient que la variable u, sera intégrée entre deux limites constantes qui sont les valeurs extrêmes de ecl angle.

449. Considérons, pour y appliquer la méthode précédente, le volume détache dans une sphère par un cylindre droit ayant pour base un petit cercle décrit sur l'un des rayons comme diamètre.

Soit 0 le centre de la sphère et OB le rayon qui sert de diamètre au cercle de

base du cylindre dont nous prendrons le plan pour celui des XV. L’élément p </'.» e/p est évidemment la base d’un parallclipipède dont la portion comprise dans la sphère a pour hauteur i y R2— />’, et l’élément du volume cherché est par conséquent

WR’ — p’pt/pt/e».

Intégrons d’abord par rapport à p. Si désigne l’angle du rayon vecteur avec le diamètre OA, les limites seront évidemment o et R cosu; ou a donc pour la partie du volume cherché qui se projette sur le secteur POP' :

/iReOfcu r 1 K <o. . ,

ai/oi J y R’— o’pdp = d&> J^— j ; R’ — p’)'J = | (R*— R'sin‘w)f/w.

R ‘ sin1'» remplace ici I y R2 — R1 cos2 s>) ‘ et doit être pris en valeur absolue.

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Lors donc que pour trouver tous les éléments nous ferons varier ta de — ï à -+-

sin’u devra être changé de signe dans les parties de l'intégrale pour lesquelles w est négatif; mais on peut se dispenser d’avoir égard à retic remarque, en inlé-

granl entre les limites o et î, ce qui donne évidemment la moitié du volume cherché, que l’on doublera ensuite. I.e volume V est donc

V= \ ( ‘ ( R’ — A’sin'Mlf/*) = I rR’— 8- R’.

Si l'on considère un second cylindre égal au précédent et de même direction, ayant pour base le cercle décrit sur le rayon OR' prolongement de OR, comme diamètre, le vojume des deux cylindres réunis sera

et ce qui reste de la sphère quand on les enlève est par conséquent

Emploi des coordonnées polaires.

450. Supposons que l’on adopte, pour représenter ta position d'uu point, les trois coordonnées polaires p, 0 pt dont nous avons fait plusieurs fois usage.

OX, OY, OZ étant trois axes rectangulaires, la coordonnée p est la distance OM du point considéré à l’origine, 5 l’angle de OM avec l’axe des Z. et 41 l'angle dièdre du plan MOZ avec ZOX.

Pour évaluer un volume dont la surface est rapportée à ce système de coordonnées, il convient de le décomposer en éléments infiniment petits compris entre deux sphères lieux des points correspondant aux rayons p + dp, deux plans lieux des points correspondant aux angles | et 4 -+- d\, et deux cônes lieux des points I . Cntr int . 5 3

correspondant aux angles 6 el 6 -t- f/5, Cel élément, dont les faces se coupent deux à deux à angles droits, peut être assimilé à un parallélipipède rectangle ayant pour arêtes (1, 121 ) dp, p sin5f/ti et pdO ; il a par conséquent pour mesure

p’sinSdpdSrf'.jf.

Le volume total est la somme des expressions analogues relatives à tous les volumes élémentaires qui le composent. Nous supposerons, pour faire cette sommation, que deux des coordonnées restant constantes on fasse varier la troisième entre deux limites qui dépendent de la forme du corps et des valeurs attribuées aux deux coordonnées constantes. Si, par exemple, 5 et 4» restent fixes, ainsi que dO et dÿ, les éléments qui répondent aux diverses valeurs de p seront compris dans l’intérieur d’une même pyramide h base rectangulaire, ayant pour sommet l’origine, el leur somme sera

sin5 f/0 rf<j< f P’dpt

l’intégrale devant être prise entre les limites K, et Ra que fournit, en fonction de 0 et de i|/, l’équation de la surface qui limite le corps. Cette première intégration peut toujours s’effectuer el donne

s inOrfO^(R,R;)

En faisant varier ([*, 5 restant constant, on obtiendra la portion du corps comprise entre deux cônes infiniment voisins, ayant pour angles 5 et 5-t-r/5; cette portion est

les limites de l’intégrale étant les valeurs extrêmes de ■.}<. et -i, qui dépendent de l’angle 5. Il faudra enfin intégrer, par rapport à 5, entre les valeurs extrêmes S, et 5, de cet angle, qui sont des constantes, et le volume est

Dans la première intégrale <]<,, II, el Rg dépendent de l’angle 5, qui est traité comme constant; dans la seconde, 5, et 5, sont deux limites constantes.

Lorsque l'origine des coordonnées est située dans l’intérieur du corps, les angles 5 el q» peuvent prendre toutes les valeurs, el, pour embrasser toutes les