LIVRE SECOND. - APPLICATIONS HT DEVELOPPEMENTS. il

directions possibles, p élunl supposé essentiellement positif, il faut évidemment faire varier | de o à arr pour obtenir tous les points d'un plan passant par l'axe des Z, puis 0 de o à *r seulement, pour que, dans ce plan, le rayon vecteur prenne toutes les positions possibles.

I.e volume d’une sphère de rayon II, ayant pour centre l’origine, sera, par exemple,

Emploi d'un système quelconque tic coordonnées.

•151 . Si l'on adopte, pour représenter les points de l'espace, les valeurs îles trois paramètres a, fi, y, définis en fonction des coordonnées rectangulaires x, y, z,

? = <fAx,y.s).

à une valeur donnée de l'un des paramètres correspond une surface, et les points se trouvent définis par l’intersection des trpis surfaces qui s’y croisent en découpant l'espace en parallélipipèdes infiniment petits, il faut, pour évaluer un volume, adopter pour élément le parallélipipède infiniment petit compris entre les surfaces correspondant aux valeurs *, « 4- rf«, |5, fi + dfi, y et y -h rfy des trois paramètres, et dont il faut d'abord trouver l’expression.

Soit MNPQ ce parallélipipède, la face MPQ appartenant à la surface qui répond à la valeur a du premier paramètre, MQN à celle qui correspond il /3, et MNP à

celle qui correspond à y. Les trois laces opposées correspondent aux valeurs a rfa, -i- rfjS, y -t- rfy des trois paramètres; le parallélipipède étant iufinimenl petit et la courbure de ses faces insensibles, on peut le traiter comme un parallélipipède à surfaces planes égal évidemment à six fois la pyramide, dont les

sommets sont M, N. P. Q : ces sommets ont pour coordonnées

dx ,

x H — j- ti x, dx

dz .

Z -4- -T— d x, dx

rfï .

j + t- rfy.

rfy '

et par conséquent, d’après une formule bien connue qui exprime le volume d'un tétraèdre en fonotion des coordonnées de ses sommets, l’expression du volume MISPQ est égal à

rfa’

rfa rf jl rfy

rfp’

' rfg’

rfP’

dy 1

rfy’

dy'

c'est-à-dire (1, 71} au produit de

par le

déterminant fonctionnel de x.

v, s, considérés comme fonction de a,

ou, ce qui revient au même.

à divisé par le déterminant de

y, considérés comme fonctions

de x, y, z. Le parallélipipède égal à

six

fois le tétraèdre s’obtiendra en suppri-

manl le diviseur 6.

Pour sommer les éléments qui composent un volume donné, il faudra, comme dans le cas précédent, faire varier successivement les trois variables. On intégrera d’abord, par exemple, par rapport à a, en considérant |? et y comme constants, et l’on obtiendra ainsi la portion de l'espace formant un canal infiniment petit, à section quadrangulaire, compris entre les surfaces qui correspondent aux paramètres^, fi -h dp, y, y H- rfy. Les limites de celte première intégration seront deux valeurs de « exprimées eu fonction de t3 et de y Le résultat sera de la forme

</3rfy F(J3, y).

On intégrera, en second lieu, par rapport à /S, en traitant y comme constant, et l'on obtiendra ainsi la portion de volume comprise entre les surfaces correspondant aux valeurs y, y-*- rfy; les limites seront des fonclious de y, et le résultat sera de la forme

rf-/r[y).