LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS. *Î
l’on nomme de,, de,, dos. d 7,, . </?„ les éléments île surface interceptés, la
portion du volume comprise dans l’intérieur de la pyramide a pour expression
sin9rf6</tl, , , , , , , .
— 3 — mp:-p: + p:-p;+p;-p:>.
y,. ya, y„ y4. ys, y, étant les angles formés par le rayon vecteur avec la normale extérieure à chacun de ces éléments, on aura
</», cosy, du, cosy, __ i/t, cosy, da, cosy, rfe, rosy,
p? - pT “ p; ” p:— ~~ pî
da, cos y, .
= cî = sin 6 rf9 </■{■,
et par conséquent l'expression devient
j (p. dj, cosy, ■+■ pi rfu, cosy, -+- p, de, cos y, 4- p.tfç.cosy, +• p, </?. cosy, +0, di. cos y,),
et la somme des expressions analogues est évidemment
^ j' 01/7 cosy,
étendue à tous les éléments de de la surface.
Application à l' ellipsoïde. — Considérons l'ellipsoïde représenté par ré'quation
En adoptant, pour représenter les points de la surface, les variables p et </ liées aux coordonnées .t, y, z par les équations
x — usinp cosij, y = b sinp sin q , 2 — tre osh,
l’élément de surface est exprimé ( 430 ) par
, . , , /siii’ocos'o sin’usitLi/ cos'/i
abc smp dp dq y + t.,#-
L'anale de la normale extérieure avec l'axe des 2 a pour cosinus
cos/ ---
c* cos//
fV >’ j1 . sin1 o cos o Sllt*psll)*0 cos 7/
V c- + 4 „• CV « - + V +
ai
deuxième Parue. - calcul intégral.
cl l'expression <lu volume
devient, pi- conséquent.
<h cos y
alir f f sili/) cos’/) dp dq — abc Ç sill p cos /) dp f dq — ^ r. abc .
«'O s'il ♦'O eO
455. Cherchons de nouveau, à l’aide de la même formule, l’expression du volume de l'eUipsQÏde, en rapportant les points de la surface aux coordonnées elliptiques de M. Lamé.
L'ellipsoïde ayant pour équation
un point de sa surface sera défini (I, 128 par les paramètres v et p qui satisfont aux équations
{>’ p* — £»« pf —
et tels que l’on ait ja’ > v’ > p*.
La distance de deux points infiniment voisins étant exprimée (I, 128) sur la surface de l’ellipsoïde par
jfi ,1^ WjZJt'W. T-*.’) + ,is P*)fV—
p (p'-é-Kp’-c’) (v-6>)(v*-e*>
l’élément de surface est
*= w-vs/r*
On a d’ailleurs fl, 128)
et
COS y r
pC — c*
qui, d’après les valeurs «le x, y, : I. 128,, devient
co sy —
h •! V ë> — lie -•/')( U? — c1
v( y.1 — •ji ) ( uo — p3) c’tr ( c1 — 6")
cl l’expression de l’élément du volume zdo est par conséquent
Il faut, pour avoir le huitième du volume total, intégrer entre les limites o et b pour p, b et c, pour v, et, en égalant le volume à l’expression connue
| api ^fX' — l>- y U3 — c3.
on obtient la formule
-p’)VÏ^
" trc’(v’ — b’).
150. L’application de la formule (451) nu volume d’un ellipsoïde fournira la valeur d’une autre intégrale double, qui, de même que la précédente, ne serait pas aisée à calculer directement.
En adoptant les mêmes coordonnées orthogonales que dans le calcul précédent et gardant les mêmes notations, l’élément de surface <i~ est encore représenté par la formule
tf*’
p’K>*’— y*) p3)(v3— fc’)(c3— >■)"
Le produit peosy, qui dans la formule trouvée (451 j multiplie </o, est la perpendiculaire abaissée de l’origine des coordonnées sur le plan laDgent: elle a pour expression
+ (fé-c1)3
et l’on a, en remplaçant x, y, ; par leurs valeurs,
