LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS. 4 '.il
masse donnée, pour laquelle son attraction sur une molécule donnée sera la plus grande possible.
Il est évident d'abord que la surface du corps attirant doit contenir la molécule attirée, car on pourrait sans cela détacher de cette masse un élément et le transporter au contact du point attiré, de manière que son action s'exerçât dans le sens même de la résultante de tous les autres en l’accroissant évidemment plus qu’il ne pourrait le faire dans sa position primitive. On aperçoit également que deux molécules de mémo masse, placées toutes deux à la surface du corps attirant, doivent exercer sur le point attiré des actions dont la composante, dans le sens de la résultante totale, ait la même valeur. S’il en était autrement, on pourrait accroître la résultante en enlevant la molécule correspondante à la moindre composante pour la transporter sur l'autre, sans changer ainsi la masse totale attirante.
La remarque précédente fournit pour équation de la surface qui limite le solide cherché
cos 8 P*
p étant la distance au point attiré pris pour pôle, S l’angle du rayon vecteur avec l’axe dirigé suivant la résultante totale, et k une quantité constaute.
Cherchons d'abord quelle valeur de k correspond a un volume donné |ira*. Le volume enfermé dans la surface dont l’équation est (A) a pour expression '
s»i /vit /»4yco*$ /»3 /» 4 y cor 9
Il I p’sin 9t/0 dÿ dp = 21? I 1 p* sinûdOdp J O J O J Q J O J O
TT
(cos9j'sin5rf8=
* a /il y cor 9
On doit donc poser
Pour calculer l’action exercée, considérons le volume élémentaire p*sin5d0dpdty. En nommant D la densité, on aura peur expression de son action sur la molécule de masse [i placée k la distance p
ul) sin 8 dp dOdty,
dont la composante dans le sens de l’axe, direction évidente de la résultante, est
ul) cos8 sinS dpdid^.
«i DEUXIÈME PARTIE. CALCUL INTÉGRAL,
et l’action totale est paè conséquent
ÏT
AJir /*4\'c <ysO
f*D I I I cos 9 si n iilpdOtlty.
J o Jit J O
En intégrant d’abord par rapport à <}, puis par rapport à p, enfin par rapport à 0,on trouve
c’est-à-dire, en remplaçant k par sa valeur,
g uDltll y/5.
Telle est la plus grande attraction que puisse exercer sur une molécule de masse / x une masse homogène de densité D et de volume égal à une sphère de rayon a.
Attraction d'une sphère.
464. Cherchons l’attraction d’une sphère pleine homogène de rayon R et de densité D sur un point de masse p situé à la distance a de son centre. Si le point attiré est situé sur l’axe des X, la composante A, dans le sens de cet axe, est évidemment la seule à calculer, et les deux autres sont nulles à cause de la symétrie. On a trouvé (459)
A=-pD
r désignant la distance de la molécule de de la surface sphérique à la molécule attirée p, et XN l’angle de la normale, c’est-à-dire du rayon qui aboutit à l’élément de, avec la partie positive de l’axe des X. On a
de =
cos NX =: cos 9,
et l’attraction A est par conséquent
• A — — ;/DR' r ,.n.,rr ^
J o J o *’ J o J o yo’-f- R’— a«R cos 9
c’est-à-dire, en effectuant l’intégration par rapport à <{i.
-r~» r *n6eo*9 ^
Jo »a'+ K’ — au U cos 9
LIYRR SECOND. - APPLICATIONS ET 1>ÉT EU i HPKMENTS. On a. en intégrant par parties,
i suivi
si»5 cosO
i « R cos 0
JO
«•08 fJ ii*
a U \a7 h K‘ — a a II cos 9 4- t K J sinO^u’a-R*— loKcosOrfO
cos S
-g- Y"’-*- U’— aaRcosO— j -g, (ns+ R — mRcosO,''
L'intégrale prise entre les limites 5 = o, 5 = n est ^l*!, el l'on a enfin
4 TT R3 1) IX \ — — — r-c.
La sphère pleine homogène attire par conséquent une molécule extérieure comme si sa masse entière était réunie a son centre.
465. Lorsque le point attiré fait partie de la masse attirante, le résultat précédent n'est plus applicable. Le radical y'"1 -t- R3 — aaH cosî représente en effet une distance toujours positive ; quand on y suppose 0 — o, il faut, lorsque It est pins grand que a, le remplacer par R — a cl non plus par a — R; il en résulte une différence dans le résultat, et la force d'attraction est
- I rixDo.
Elle est indépendante de R, et par conséquent une sphère de rayon R attire un point situé à la distance a de son centre, 'comme une sphère concentrique de rayon a, et une couche sphérique homogène est sans action sur les points intérieurs.
466. Les résultats précédents peuvent être aisément établis par des considérations géométriques.
Considérons une couche sphérique homogène infiniment mince, que nous regarderons comme une surface attirante, suivant une loi telle, que l'action d’un élément do sur une molécule je, située à la distance r. soit 1 f " ■ line telle couche est sans action sur les points intérieurs; il est aisé de le démontrer.
Soit, en effet, 0 la position du point attiré; considérons deux cônes opposés
par le sommet ayant pour angle du, I. Cak. ini.
c’est-à-dire interceptant une aire du sur
la
m DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTEGRAI..
sphère Je rayon unité, décrite Ju point O comme centre: les éléments intercepté»
sur la surface attirante aux points I’ et Q sont respectivement
rfw OP dtûOQ
eos(OP, Nj’ cos;uy, Nj'
(OP, N), (OQ, N) désignant les angles formés par les rayons OP et OQ avec les normales à la sphère aux points P et Q; ces angles sont égaux, et les attractions
D f/ fl f>> D J il ht
cos( OP, N ) ’ cosi Ôy, N }
exercées sur le point O par les éléments PP’, QQ’ sont par conséquent égales et se détruisent; toutes les forces d’attraction exercées sur le point O se détruisent ainsi deux à deux, et leur résultante est nulle.
Considérons en second lieu l’action de la couche sur un point extérieur situé en O': prenons sur le diamètre CO' un point O conjugué de (V, et tel, que CO .CO' = R’.
Considérons ce point O comme sommet d'un cône infiniment petit d’angle da> , et cherchons la composante suivant O'C de l’action exercée sur la molécule de masse [X placée en O' par la portion PP' de surface sphérique interceptée par ce cône. L'élément PI*1 est
rfwOI»’ cosOt’Ü '
l'action sur O', décomposée suivant O'C, est par conséquent
, i/nOP cosPO C
Uu — i
eosOPC.UP
mais les triangles CPO, CPO' sont semblables, les angles OPC, PO’C, sont donc égaux, et le rapport est constant cl égal il l’action élémentaire est donc représentée par
R ’Jo,
lia - -j-
