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ccv‘

La eouclie sphérique agit doue comme si elle était concentrée à son centre. Le théorème démontré pour une couche infiniment mince s’étend évidemment à une couche d’épaisseur quelconque et à une splicre pleine.

Attraction d'un ellipsoïde homogène.

4t>7. Soit

l'équation d’un ellipsoïde homogène de densité égale à l'unité. Si l’on nomme de l'élément de surface, la composante parallèle ii l'axe des.r de l'action exercée sur un point de masse p. est ( 459 J

Mais en posant

A=//°osf vy,h

x = a cos/», y — bsinp rosy, z = csln/>sin</.

d* = abcdpdqSinp y/îfiî -l- -I. *in‘i‘?nX

cos(N,X) =

COS p

/cos'p sln'wros'y siii'p sin'a

et la composante A de l'attraction est par conséquent (6) -

La même composante est, en vertu de la formule (5) , 4 60 ; ,

(7) * - -//** I. - *) ['--/tî + tî^Üi H. tfcJÜJ] dpi,.

Supposons actuellement lyie l’on fasse varier les axes a, />, r en laissant constantes les différences de leurs carrés — h2, a 3 — cJ, de telle sorte que les sec*

«il DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL,

lions principales do l'ellipsoïde conservent les mêmes foyers, le rapport pourra alors* être considéré comme une fonction de a, b, c, ou, si l’on veut, de l’une qut'lcnn<|iic de ces variables dout la valeur, d’après notre supposition, détermine les deux autres. L’équation

A /’3!t s'inprosp

abc Jo Jo ar

dp dq

montre que, a, b, c croissant indéfiniment, ^ déeroil sans limite, et s'annule A

quand a est infini. Posons ^ =£, et différenlions l’équation (8) après l’avoir multipliée para; />, q pouvant être traités comme des constantes, car il est permis île comparer, dans les deux intégrales, les éléments qui se rapportent aux mêmes valeurs de ces quantités. On aura donc

l^Ua^-rr^Pdpdqd,

Mais on a

En y considérant x,v. z comme des fonctions de /», de q et de a, et faisant varier a seulement, on a

r tir ~ — !tx — x ) dx — : 3 — yji/y — (y — *)</«,

c’est-à-dire

rdr — — ( x — x) cos p da — ( 3 — y ) sinp cosç db — ( y — j j siny» sim/ de, et, à cause de a’tla = b db = edr,

rdr—? — (a — X ) X da — (3 — y) ^ db — (y — s J tir

d'^x + *--ïy.+ 7-rs)t

et l'équation (ç>) devient, en remplaçant «cos/i par a-,

adl + lda - tiaj f *'!£ x x ’ y+ Y s) dpdq.

Retranchons l'équation (7) multipliée par aous aurons

" ,n = rf"j0 i * s'n/' rr * + " * ** + 7 > : :) *