LIVRE SECOND - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS

Le théorème précédent n'applique lors même que le point attiré fait partie de la masse attirante; mais ce eas doit être examiné à part. L’un des éléments de l’intégrale V devenant alors infini , on doit craindre, en ellèt, en la traitant comme la somme de ses éléments, de rencontrer des résultats inexacts.

Détachons de la masse attirante un solide infiniment petit M,, qui comprenne le point attiré; nommons V, le potentiel relatif à celte partie du corps, V3 le potentiel relatif il tout le reste de la masse; on aura

et, si l’on partage de même la composante de l’attraction en deux parties A, et Aa relatives à ces deux portions de la masse attirante, on aura

On a sans difficulté

De plus, A, est infiniment petit cl s'annule avec la masse M,; s’il en est de même de ^ 1 * le théorème sera évidemment démontré. Pour faire voir qu’il en est

ainsi, supposons que le solide M,, qui est arbitraire, soit une sphère de rayon r ayant pour centre le point attiré. En nommant o la densité de celle sphère, le potentiel V, est, comme on le calcule aisément, anse’; si le point attiré subit un déplacement </a infiniment petit par rapport à r, on pourra considérer la masse M, comme composée d'une sphère de rayon r — du ayant pour centre le uouveau point attiré, dont le potentiel sera

arp( r — </«)'— ir.pr’ — 4 irprrfa,

et d’une couche dont la masse, étant de l’ordre r'-dx, cl la distance au point attiré égale à r, donnera un potentiel de l’ordre rdx. Rcprésenlons-le par kr do., k étant fini: la différence des deux potentiels, </ V , , est

</V, — faprda -1- krdx,

et le rapport il doc est infiniment petit avec r.

I,’ équation

équivaut par conséquent à

rfV,

dV,

dx

c’est-à-dire a

La formule précédente, qui sc trouve démontrée dans tous les cas, peut être énoncée sous une forme équivalente, dans laquelle n’intervient plus le choix des coordonnées : Si V désigné le potentiel en tin point et V -4- d\ en un //oint voisin

situé à lu distance i, est la com/iosanlc de l' attraction dans te sens de ta distance 6.

469. Le théorème précédent permet de calculer l'attraction lorsque le potentiel est connu, ou réciproquement d’obtenir le potentiel quand l'attraction est connue.

Considérons, par exemple, une sphère pleine, de rayon K et de densité D: l’attraction qu’elle exerce sur un point de masse p situé à la distance a du centre est, en supposant a plus grand que H ! iC-S-j,

4* rit’ D*

et celte attraction est dirigée suivant la ligne qui joint le point au centre. Les composantes sont donc, en nommant a, fi, •/ les coordonnées du point attiré,

4 rR'Dji «

4 ttIPD .u g 3 te a

De l’équation on déduit

4 rR‘Pf. y 3 a n

a* H- jî1 +- y’ — a ’

tin a t/n ,3 dit •/

dtx a d/i a dy a

et la fonction V, dont les dérivées sont égales aux expressions fi), (4). : .r>), est évidemment

v | irRJV + c o a

Lorsque la distance est infinie, le potentiel V doit s'annuler; la constante est, par conséquent, égale à zéro, et l'on a enfin

„ 4 irR*D;jt

•JVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS. Ail

Lorsque a est moimlre que R, l’allraction, toujours dirigée vers le centre, est égale à

elle a pour composantes :

— 5 rcDfxa,

-|nDr/,

qui sont les dérivées du

— |î:D)i(a'+ (î’-4- •/’) -t-C — — ^ jrD ««’-(- C.

Tour déterminer la constante, remarquons que le potentiel relatif au centre est évidemment

I — - =4-0;/ I ri/r = a rr/x DR’.

C= aîr/xDR*

On a par conséquent et

(T) V=Df» GîtR’— |jr«’V

Si l'on suppose a — R, on a

V — I rR’>

ce qui s’accorde avec la valeur fournie dans le même cas par la formule (6,.

Propriétés du potentiel.

470. On a, quelle que soit la forme et l'hétérogénéité du corps attiré, en désignant par Y le potentiel et par a, fi, -/ les coordonnées du point attiré,

d*' + dp + ~df~ °’

pourvu, toutefois, que le point atliré ne fasse pas partie de la masse attirante. I. Cote. tnt. 50

Du l'équation

r v'i*— «r-Mr— Pr+I* — y)’’

on üéiluit, un effet, par la différentiation et après dus réductions évidentes,

mais on a par dutinition

</*' dp- dy- ’

et, comme a, fi, 7, tic figurant que dans -, les limites un soûl indépendantes, on en conclut

d‘V dx‘ +

471. Lorsque le point attiré fait partie de la masse attirante, l’équation (8) n’est plus exacte; on a, en nommant I) la densité du corps attirant au point où se trouve la molécule attirée,

da- + dp- + dy- 4rU’

Décrivons, en effet, autour du point attiré une sphère infiniment petite de rayon r et dont le centre ait pour coordonnées x, y, z, et détachons du corps attirant la masse de densité D contenue dans cette sphère. On pourra partager, comme au § 408, le potentiel V eu deux parties V, et V, relatives aux deux parties de la niasse, et l'on aura

V, étant le potentiel relatif à la petite sphère et V, celui qui se rapporte au reste du corps, ün a (470)

T* 'dp + Hj' ~ °*

puisque le point dont les coordonnées sont a, /3, 7 ne fait pas partie de la masse attirante. D’après les résultats obtenus (469),