IVRE SECOND - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS

et le sgcond membre csl égal ( 457 j à zéro ou à

, «, /3. 7 est extérieur ou intérieur.

Considérons d'abord le premier eas. I/équalion

suivant que le point

prouve que % reste constant lorsque l'ellipsoïde attirant croit ou décroît en conservant des sections principales de mêmes foyers, et, par conséquent, on peut remplacer l'ellipsoïde attirant par un autre dont la surface passe par le point attire; les deux corps exerceront des actions dont les composantes divisées respectivement par le produit des axes seront les mêmes, et, les deux résultantes dirigées dans le même sens, seront proportionnelles aux masses des deux ellipsoïdes.

Ce théorème remarquable a été aperçu par Maclaurin, qui l'a démontre seulement dans le cas particulier où le point attiré est situé sur l’un des axes.

Considérons, en second lieu, le cas où le point attiré fait partie de la masse attirante; on a alors

, „ 4 TT* llll

«’Or

mais

k 2 et k 11 étant des constantes. En remplaçant b et c par ces valeurs, il vient

dj = .— -J-x*a—-, k’^a' — k’’

et, comme | est nul pour une valeur infinie de a,

Jm k‘^a’ — k '*

Pour éviter la confusion entre la lettre a, qui sert de limite inférieure et qui est l’axe de l’ellipsnide attirant, et 1a lettre par rapport a laquelle un intègre, qui représente les axes successifs des ellipsoïdes liomofocaux, remplaçons cette seconde lettre par u et posons

nous aurons

l'EUXlËMK PARTIR. - C.ApCUI. INTÉGRAL.

Mais

A’= o’ — te. l/lzxtO — c1;

donc

4 ica /’ 1 t‘dt

el la composante de l'attraction est

et par des changements de lettres on obtiendra les deux autres composantes dont l'expression dépend des fonctions elliptiques. On voit cependant que, dans l'interieur de l'ellipsoïde attirant, les composantes de l'attraction parallèlement aux axes sont proportionnelles aux coordonnées a. J3, y du point attiré, et que les trois intégrales à calculer pour connaître l’action d'un ellipsoïde sur uu point de sa masse sont les mêmes, quel que soit ce point.

Définition du potentiel. ■

468. Lorsque l’on divise la niasse de chaque élément d’un corps par la distance de cet élément à un point fixe, la somme des quotients ainsi obtenus se nomme le potentiel relatif ou point fixe S’il s'agit d’un corps solide dont l'élément dxdvdz ail pour masse Ddxdvdz , le poteuliel relatif au point dont les coordonnées sont a, fi, y est exprimé par l'intégrale triple

dxdrdz,

étendue à la masse entière du corps attirant.

L'étude du potentiel est liée intimement à la théorie «le l'attraction cl s’y rattache par le théorème suivant :

l.a dérivée du potentiel V par rapport à l'une des coordonnées «, jS, y dont il dépend est la com/tosante de i attraction du corps parallèlement à l'a.vc correspondant.

On a en effet, en différentiant sous le signe d’intégration, ce qui évidemment est permis, puisque les limites sont indépendantes de a,

dx dydz.

ce qui est précisément la composante de l’attraction.