Jn Jo

/•ît /**

X / x1/ le'lW*,rfj,... i x‘-

toutes les intégrations s'effectuent à l'exception de la dernière, et l'on trouve

la, -b a, î‘». . . a. +-

dz.

Méthode de Dirichlct.

480. Dirichlct a appliqué fort ingénieusement aux intégrales multiples la méthode employée (250) pour le calcul d’une intégrale simple, et qui consiste à introduire un facteur égal à l’unité dans les limites des intégrations et à zéro en dehors des mêmes limites, de manière à pouvoir ensuite prendre pour toutes les variables les limites — » et » .

L’intégrale

i /’xsino ,

- I ■ cosÿstfy

est (255) égale à l’unité lorsque r/ est moindre que i et à zéro dans le cas contraire. Si donc une intégration doit être faite entre des limites définies par l'inégalité

404 DEUXIÈME l’ARTIE. CALCUL INTÉGRAL,

on pourra multiplier l’élément à intégrer par

3 si n

T — cos 9 ¥\Xf)\ z d9

et intégrer entre les limites ? = o, ? = * , en substiluani ainsi à l’intégrale proposée une intégrale nouvelle dans laquelle les variables x.y, z n’auront plus pour limites que - * et =c , car les éléments pour lesquels F(x0-, z) est supérieure il I unité et qui ne doivent pas figurer dans la somme, sont multipliés par l'intégrale

sin?

I — cos<?¥(x, r, z)dç Ja y

qui est égale à zéro. Les autres sont multipliés par l’unité, et le résultat n’est pas changé.

Appliquons celte méthode h l'intégrale

!3°) //'" ■ <-"dx,dx,...dx,

prise entre les limites définies par l’inégalité

(îY+(ZT+~+($r<:

oii x,, a- sont supposés positifs.

Cette intégrale est égale, d’après la remarque de Diriclilet, à

o.. ir r '

x ,k va o v o

X "H (j) + (£) '+• • + . dx.d^:

elle est la partie réelle de

sino 5ir~îr(r)''‘-,-(J-'y’'~ ••f-M'’"]

< 9~e '■ '*• rtr. dx,. . . dx.df.

En intégrant d’abord par rapport à .r,, il faut calculer

va

Posons

l'intégrale deviendra

cl on aura de même

rv^-v. ». r(J) i. .1

• / — T (— i )'P> du = ■ - P ' aÇ 9

r gr-***, » ifê)

et l'intégrale (3a) devient

ci r(-)

rf-V-- ri

*i , /**sîn9

a*1 a4,*. . . aj- ( — i )*p« */*• ***• i — - doy Vi r* #•«/.

P*lh -P'

Mais on a (325), en supposant pi compris entre i et 2, “ sin 9

en sorte que l’intégrale demandée est la partie réelle de

ar(tt) sin - fiir,

swa

(Èi

|sin^-|

Ur on a

/ v rr tt / fr. il-, AA , — , t/ h, lr,\

( — !)■'’• ’P’ ,',» = C0S-( 1 h •■•-+-- ) +/—> S1II - (

a \p> p< p.j *\p< pj

D'ailleurs

sin - 7r 1 1 -+- ■ — 1- • ■

— cos - î: [ 1- • ■