KI

pour n = a, on a

et l’intégrale, égale à représente alors le huitième «le la surfaec d’une sphère de rayon unité.

Formule (le Poisson.

487. Poisson, dans un de ses .Mémoires, a transforme très-élégamment en une intégrale simple une intégrale double à laquelle l'avait conduit la solution d’un problème important.

Quelle que soit la fonction désignée par F et les constantes a, h, c, on a (j5) I f F(r<cos0+ 6sin0cos<(> -t-csin0sim|*)sin0</5r/t]* = a;r / F(Ri<)f/«

OÙ

. R = qa' 4- 6* -4- c’ .

Pour démontrer cette formule, regardons-!! 5 et <|i comme les coordonnées polaires des points d’une sphère de rayon unité; si n 5 r/5 <!■} (428) est l'élément de la surface de cette sphère. Pour donner une signification à l'expression

(ifi ) n cos O ■+- 6sin5 cosij/ -+• csinOsini|>,

en iionunant R,/>, q les coordonnées polaires du point dont les coordonnées rectangulaires sont a, b, c. un aura

n— Rcos/i,

/»— Rsin /«eus#/.

o=E sin p sinq,

cl l'expression (a6) est le produit de R par le cosinus de l'angle formé par les directions que définissent les angles 5 cl t|i d’une part, p et q d’autre part, tin notn-

iliî DEUXIEME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.

inant cet angle u>, cl < l’élément de la surface sphérique, l’intégrale devient

J F( R rosr,>j ils.

le signe f indi(|uant une intégration qui s’étend à la surface entière de la sphère de rayon unité.

Prenons pour pôle le point où le rayon vecteur R perce la sphère, 5, et tji, étant les coordonnées polaires d’un point de la sphère, on aura

oi - O. ,

ils ~ sinfl, r/5, </■{,, ,

et l'intégrale (27) devient

nsin 5, F( R cos 0, ) r/5, r/ }, .

L'intégration par rapport à ij<, s'effectue immédiatement, et l’intégrale double (25) est ramenée à l’intégrale simple

Si l'on pose l’intégrale devient

2z f slnS, F{ R cosfl, ) r/3,.

VO

cos 5. = «, slnO, t/0, =— r lu,

îîtj F(Rrr)t/rr:

c'est le théorème de Poisson.

Réduction par 1‘ augmentation du nombre des intégrations.

488. Nous avons calculé plusieurs intégrales simples (247) en les ramenant à des intégrales doubles. Il arrive souvent aussi que la détermination d’une intégrale multiple se simplifie quanti on remplace l’un des facteurs qui y figure par une intégrale équivalente, en augmentant ainsi pour les rendre plus simples le nombre des intégrations à effectuer, dont il est permis ensuite île changer l’ordre.

Soit à calculer l’intégrale

1 1 • * ’ Jx, llx,

VU «-'O if