LIVRE SECOND. - APPLICATIONS HT DÉVELOPPEMENTS. «U

l.a probabilité pour qu’il y ail renconlre, l’une des cordes établ PQ, esl le produit des probabilités (A) et (B) :

PO drdO

cos* — cos£ ;

et la probabilité pour qu’il y ait une rencontre dans l'intérieur du petit cercle est évidemment l’intégrale de cette expression lorsque dr et 5 prennent toutes leurs valeurs; l’intégration par rapport à dr se fait immédiatement, l.a somme

est précisément l’aire du ccrclu que nous nommerons n, et le résultat île celle première sommation est

adO ,

-p I 2 — COS* — COSjv .

Soit « l’angle sous lequel la courbe est vue d’un point do cercle infiniment petit, on a

jï = oj — a et dS = dx. ■

La probabilité demandée est donc enfin

fcj' [* — cos* — cos oi — x ' da —

2 ff

-p oi — slnoi).

La probabilité pour que les deux cordes sé coupent en dehors de la courbe est l’intégrale de celte expression lorsque du coïncide successivement avec tous les éléments du plan extérieur à la courbe, et comme il faut que les cordes se coupent à l’extérieur ou il l’intérieur de la courbe, la probabilité (a} ajoutée à l'expression trouvée '511; -doit donner pour somme l’unité. On a donc

c’est-à-dire

o) — sinon — i,

I du o> — sinon =

du désignant un élément quelconque du plan extérieur à une courbe convexe dont l’aire est il et la longueur !;, et o> l’angle sous lequel celle’ courbe esl vue d'un point situé sur l'elémeul du.

C'est le théorème de*M. Crofton.