QUELQUES DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

" Théorème de Taylor.

531 . L’étude des intégrales imaginaires conduit à une démonstration du théorème de Taylor par laquelle les conditions d'exactitude et de convergence énoncées (I, 380 sont immédiatement mises en évidence.

Soit f : une fonction de la variable imaginaire s; supposons-la finie, continue et bien déterminée pour toutes les valeurs de z dont le module est inférieur à une limite 1t. On entend par là, ainsi qu'il a été expliqué (I, 380}, que pour toute valeur de z de module inférieur à R la fonction est finie, qu'elle n'a qu’une seule valeur, et que, de plus, pour un accroissement infiniment petit dz attribué à z, le rapport . de l'accroissement de la fonction à celui de la variable est déterminé et indépendant de z.

Soit « une constante de module inférieur à R, la fraction

a, d'après nos hypothèses, une valeur finie et déterminée pour toute valeur de z de module inférieur à R. Le numérateur est en cITcl toujours lini, et, si l'on suppose z = a, la fraction se réduit à ç' * .

D’après cela, l'intégrale

(O j'ïüli-*!*: Hz. '

prise.aulour de la circonférence du cerclé île rayon R ayant l'origine pour centre, est égale à zéro (335 . et Pon a

Les intégrations étant effectuées autour de la même circonférence. Le second

LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS, membre de l'équation a) se calcule aisément. On a (344

et par conséquent

sir v — * ?(*!•

L’équation a donne par conséquent

an V — i

Pour tous les points du cercle le long duquel on intègre, le module de z est égal à R et plus grand par conséquent que celui de a. On peut donc remplacer ' par la série convergente

et l’équation (3, devient

Si l’on pose par conséquent

l’intégrale, prise le long d’une circonférence pour aucun des points de laquelle la fonction ne devient infinie, est évidemment linie et déterminée, et l’on a

La fonction f'a est ainsi développée en série convergente ordonnée suivant les puissances de «.

La possibilité du développement étant démontrée, la méthode des coefficients indéterminés devient légitime. En faisant a = o successivement dans l'équation ((> et dans ses dérivées prises par rapport à tt, on trouve

' I .3.3. . . tt

cl enfin

(8) ?(«j= ?(«) ■+• «ÿ'(°) ■+• “ ç'Io) ■+■ — *- 7.7737777 **!°! ■+ *

C’est la formule de Taylor qui se trouve ainsi démontrée pour toute valeur de la variable dont le module est inférieur à celui pour lequel la fonction peut devenir infinie ou mal déterminée.

532. La comparaison des équations (5) et f 7 j donno la formule

9"(o; 1 r<f(zds

où l’intégration est effectuée sur le contour du cercle de rayon R, ayant l'origine pour centre.