LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFÎMES ET INDÉFINIES

d'abord de la différentielle

f 1 r, + B X ■+■ x’ : ilx.

Pour la rendre rationnelle, posons -

on en déduit

A •+• Bjr = ixi + z\

I(3!-Bi + A)</î

tir = -

el la substitution de ces valeurs rendra la dilTérenlielle rationnelle. Un atteint le même but en posant

On en déduit, en effet,

VA + Bi + j'=jj + VA-

B -+■ x = i ; \\ ■+■ xz', a* v(Â - B

. i> y'A -Bj + v A j Va ô- Bx 4--P Y* .

On doit remarquer toutefois <]ue dans le cas où A est négatif celte transformation a l'inconvénient d'introduire des imaginaires dans le calcul.

Une troisième méthode consiste à décomposer le trinôme A -+- Bx -+- xJ eu facteurs du premier degré, ^x — «) (x — j3), et à poser

on en déduit

, iz(£ — z) .

10 DEUXIEME l’AIITIE. - CALCUL INTÊüHAL.

fai différentielle devient donc encore-rationnelle. Cette transformation, comme la précédente, introduirait des imaginaires dans le calcul si les racines a et fi n’étaient pas léelles.

47. Lorsque le coefficient de a.-3 sous le radical est négatif, la différentielle peut être mise sous la forme

F (x, y À 4- ISt — x- d.r.

On peut la rendre rationnelle en posant

v'A 4" B.r — x= = y' A ■+■ xî.

Lorsque A est négatif, cette transformation introduit des. imaginaires; on devra alors remplacer le trinôme parle produit [a — x)[x — et poser

*/{* — x)(x — jî) = (Jr— a) J.

tielte transformation le rendra rationnel.

S’il arrivait que A étant négatif les racines a et [i fussent imaginaires, les deux métliodes indiquées introduiraient l'une et l’autre des imaginaires qui sont alors inévitables, car le radical y A -4- Hx — .-r* est imaginaire pour toute valeur réelle de .t.

48. Nous donnerons quelques exemples des transformations précédentes. Cherchons l’intégrale

J V A + B.r 4 Cx’ yc / A K

J Vc+Cr

Posons, conformément à la première des méthodes indiquées.

ou en déduira

id;

y A 4- B.r +Ca: yc (“->*)

C dx i . ,B \ i ./B AB \

J yA 4- Bx Lx’ yt, • yL \A> y' C. L /

En remarquant que /a= — et supprimant une partie constante, cette intégrale