INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES AI.GÉRRIQI'F.S IRRATIONNELLES

A3. Lorsque l’expression d'une différentielle contient des radicaux, il est le plus souvent impossible d'en obtenir l’inlégrale. Nous énumérons dans ce chapitre le petit nombre des méthodes qui peuvent y conduire et des cas dans lesquels on peut les appliquer.

Différentielles (/ni contiennent ( ax -+ b)1.

4i. Lorsque le radical dont la présence rend l’expression irrationnelle porte sur un binôme de la forme ax + b, on peut toujours faire disparaître l'irrationnalité par un changement de variable et intégrer ensuite par la méthode exposée dans le chapitre précédent.

Soit, en effet, la différentielle

F [r, Aj*] <lx,

dans laquelle le signe F désigne une fonction rationnelle de x et de fax -t- b)i-, en posant

(ax -+- A)* =

on aura

la substitution de s à x rend par conséquent la différentielle rationnelle et permet de l’intégrer.

Il est évident que si l’expression contient plusieurs radicaux portant sur le même binôme ax -+- b, on pourra les réduire au même indice et rentrer ainsi dans le cas précédent.

:i8 DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.

45. Lorsque la différent! elle à intégrer contient une expression de la forme

y' a -t- \mx + n, on peut la rendre rationnelle et par conséquent intégrable en posant

« -t- \'mr -t- n — i‘, mx -t - n — ( î> — a z' — a)'—- n

. 23 r/a fa’ — «)

Il T “ ,

et la substitution de ces valeurs rendra la différentielle rationnelle.

On peut évidemment traiter de la .même manière toute expression algébrique rendue irrationnelle par la seule présence d'un radical de la forme

on posera

Il -4- /> X -t- </ — 1‘,

ii *' - r/ /'

— a/"-1 z-'dz.

et la différentielle exprimée en fonction de : deviendra ainsi rationnelle.

Cas oh la différentielle contient \/a bx -f- ex1.

46. Lorsqu'un radical ne porte pas sur un binôme du premier degré, le seul cas étendu dans lequel on sache intégrer l'expression dans laquelle il figure est celui où il se réduit à la racine carrée d’un trinôme du second degré.

On peut toujours intégrer une différentielle de la forme

( i) F (x, fi-i- bx -+- ex’) dx.

le signe F désignant une fonction rationnelle quelconque de x et du radical \ a -t- b.r ex’.

Plusieurs transformations permettent, en effet, de rendre l'expression (i) rationnelle et de l'intégrer par conséquent au moyen des méthodes exposées au chapitre précédent.

Supposons d'abord que sous le radical le coellicieul a de x- soit positif : on peut le réduire à l’unité en faisant sortir du radical le facteur \ a. Occupons-nous donc