LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS
c’est-à-dire
« +"r' = N — £ d™. dl-
et la condition nécessaire et suffisante pour qu'on puisse en déduire i) >'y , est évidemment que le second membre de (6 ne dépende que de la seule variable y, c’est-à-dire que sa dérivée par rapport à x soit égale a zéro; on obtient ainsi pour la condition d’intégrabilité
JN JM
dï~dr=°-
En la supposant satisfaite, l’équation (6 devient 8;
ou. en désignant par N0 ce que devient N quand on y fait x = x„,
9 sf>' ,jr) — N — N-MaR,;
d’où l’on déduit
et
+(r>= / N.rfy + C F f Mdx +/ N. </>• +- C.
Celte équation io donne la solution du problème et F est l’intégrale de Mdx + Ndy lorsqu'on suppose toutefois la condition d’intégrabilité satisfaite.
5(57. La méthode précédente s’étend aisément aux différentielles qui contiennent un nombre quelconque de variables indépendantes. Soit à intégrer
ii Mdx -4- Ndy -+- Prf;,
l’équation
équivaut à
dF — Mdx ■+■ N J>- P dz
dx
JF
De la première des équations i i on déduit
'4 Fsf Mlfe+Oil'.i,
et celle expression de F. dans laquelle çj^v, : est une fonction entièrement arbitraire de j et de z, comprend toutes les fonctions dont la dérivée par rapport à .r est égale à M.
Il faut, si cela est possible, déterminer ç de manière à satisfaire aux deux dernières équations fil;, et l'on doit avoir
. f* d M . dz
N J,. dr'h+dr'
. ilr + ; i d; dz
c'est-à-dire ■ 5)
*•' (/M . dz dr <lx' dz
dz
L*a condition nécessaire et suffisante pour que ees équations soient compatibles est que les seconds membres étant des fonctions de yel de : seulement, satisfassent à la condition trouvée 566 , c’est-à-dire que la dérivée du premier par rapport à z soit égale à celle du second par rapport à x. Pour que les seconds membres dépendent de y et de z seulement, il faut que leurs dérivées par rapport à .r soient égales à zéro, et l’on trouve ainsi
,b dx ~ dy'
d P rfM
1 ’ dx dz
Ln remarquant que Jy(h = (/. (/).<
la troisième condition se réduit à
d N ./P dz ~ dy ’
cl les équations fit* ,17 . f 1» 1 expriment les conditions nécessaires et suffisantes pour que l’expression (11 soit intégrable.
En les supposant satisfaites, on a
