Si la différentielle donnée était

X, Jx, + X. f/.r, -l X, Jx.,

la condition d'inlégrabilité qui s’obtiendrait exactement de la même manière serait exprimée par l'équation

JX ,

Jx,' Jx, ’

qui doit être satisfaite pour toutes les valeurs des indices < et <\ et l'intégrale, lorsque cette condition est remplie, est exprimée par la formule

X,Jx,-b r*‘xrJx,+ ...+ f "Xî-'rfi. + C,

* j J *-rM

ar®, 4-5 j® étant des constantes arbitrairement choisies, et XJ, XJ1’,...,

X® ““““ ce que deviennent les fonctions X„ X, X„ quand on y remplace x,

par x”, x.t par x° x„ par .v".

569. Lorsque les coefficients des différentielles arbitraires, au lieu d’être donnés explicitement, sont définis par des équations non résolues, les conditions d’intégrabililé prennent une forme remarquable dont nous aurons à faire d'importantes applications.

Soient d’abord deux équations , . .

(ao F.{ q„ g„ p„ pi) = o,

(ai' F>(Ç.. p> =0.

Cherchons la condition pour que les fonctions />, et pt que l'on eu dpdnit soient