Vit K SECOND — APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS. 5SS

rentiant l’équation 137; par rapporta q, et l’équation par rapport à q

do V do dpi

1 + ; r r =°' diji £4 djn dq,

d-\, + ypd,, j =o

. «7» ému dpi <l*i a

En multipliant l'équation f îo par ^ et 1 3i par ^ , et faisant la somme des résultats obtenus, en donnant k i dans le premier produit et à k dans le second les valeurs successives 1, a, 3 n, nous aurons

y y" dty J 9 dpt y dty d ?

smU dp, dpi, d*ji ^ dpi dqL *

ici lit II

\ Y f/+ ifi Jx" d* (/+ „

tfp, dp, dq, </y n i/i/i

k = I l=| kszt

En retranchant ces tégrnhilité connues

il reste (34)

équations l’une de l’autre et ayant égard aux conditions d’in-

dp, dpi

dq, ~ dq,'

^ du d’Sf du d'Sf ^

i dpi dqi dq, dp,

ce qui est précisément l'équation (19).

Lorsque n équations sont données entre les fonctions p,, p, p„ et les variables q„ 1 y, q„. l'application du résultat précédent à ces équations considérées

lieux à deux fournira des conditions en nombre égal à celui des conditions d’intégrahilité et qui peuvent les remplacer.

57 1 . Dans les questions que nous venons de résoudre, les variables qui figurent dans la différentielle donnée sont supposées indépendantes. Dans un grand nombre de cas, on est conduit à considérer une expression de la forme

Xdx + \dy+ Idt,

dans laquelle v et : sont des fonctions de x. L’expression peut être mise sous la forme q x d. r; elle est toujours intégrable, mais à la condition que y et s soient effectivement donnés en fonctions de x. Si l’on se borne à dire qu'ils en dépendent

•Vüi DEUXIEME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.

sans dire suivant quelle loi, l'intégration ne peut a' effectuer que si les conditions

d'intégrabilité trouvées (5(57 . sont satisfaites.

572. On peut généraliser le problème et chercher la condition pour qu'une expression de la forme

(35) s ï ,y, y' 'far.

dans laquelle y désigne une fonction de .r et y' la dérivée dey, soit intégrable sans qu'il soit nécessaire de particulariser la fonction v.

Soit F .r, y) l'intégrale, on a

ici , /</F »/F A .

,/F(jr-^ = (s +

Pour que celle dilïéren licite soit égale à f 35;, indépendamment de toute hypothèse sur la forme de y, il faut que la fonction s soit du premier degré en y'. En la représentant par

on doit avoir

fli

il F

et par conséquent F est l’intégrale de M dx -+- N dy qui doit satisfaire à la condition d'intégrabilité trouvée (566

rfM ./N

dy dx

573. Considérons l'expression plus générale 1 36 ) Fl .V, y, y*, y *•<*>, dx.

dans laquelle y', y”, .... y("> sont les dérivées successives île la fonction indéterminécy; cbcrchons la condition pour qu'elle puisse s'intégrer sans parliculariscry. Soit

Ç' F[x, y, y', y" y'*'] dx = ^ [x, y, y', .... y<*-,,J 4- C,.

On en déduit, en désignant para cl b deux limites quelconques,

,3 7) I F[x, y, y' yi*’]rfx ss <]. l>.,n.y\ y‘~' — o.y.,y'„ y';-'

ym. y», ÿ, , y], .... étant les valeurs de y, y’,... quand on attribue à x la valeur a ou la valeur b.