Si nous posons

x sin«m(i {mod. A),

/ = sin<ïniv (mod./.),

lu formule générale de Ira nsformalion équivaut h

* V = £tt + C,

et la relation obtenue entre y et x est telle (660 J que, u augmentant de a, y reste invariable; sina/nc admet doue pour période ta, et il admet en outre, cela est évident, le produit par t de toute période de sin amu ; il est clair en efTet que, u augmentant d'une période, ,r conserve la même valeur, et il en est par conséquent de même de y.

Toutes les périodes il'un sinus d’amplitude étant réductibles à deux (597 J, nous voyons qu’après la transformation l'une d'elles est multipliée part; mais l'autre es

est multipliée par > , puisque « est la an -t- \Ume partie d'une période; on peut donc dire que le rapport de deux périodes a été divisé par an 4- 1 .

667. Le résultat précédent peut être généralisé. Quelle rpie soit la relation algébrique qui lie deux sinus d'amplitude correspondant à deux modules différents, le rapport des périodes relatives aux deux modules est commensurable.

Soient en effet sina/na (mod. k) et sinam(m« -t- «) (mod. t) les deux sinus , d'amplitude entre lesquels existe une relation algébrique. Lorsqu’on donne si n «ni», « peut avoir l'une quelconque îles valeurs comprises dans les formules

p, q. p 1, 7, étant des nombres entiers. La somme mu -t- 't est donc de la forme

mu -t- « -t- ;j piwn -I- "xqn tm’ \ — I ,

* -t- a «un — mu -t- 4 mp, m a»»;, «’ V — 1 .

Ces dernières expressions doivent donc donner pour leur sinus d’amplitude (mod. f), et quels que soient les nombres entiers //, q, />,, q,, un nombre limité de valeurs distinctes, et il faut pour cela qu’en les représentant par des points du plan, suivant la méthode adoptée pour les expressions imaginaires, les sommets îles parallélogrammes ainsi obtenus se trouvent tons parmi ceux des parallélo-