LIVRE TROISIÈME. — THÉORIE UES FONCTIONS ELLtPTIQl'ES. . fi

On en déduit aisément

a' b' — rtbÿi t ) — o4 a' b' — ah ç>(j|)=o.

D'ailleurs f’ fi ! et sont inégaux, sans i|iioi les équations (55) donneraient

X = de t, ec qui est inadmissible. Il (suit donc supposer .

( 36) tib — o, n' b' - o.

Prenons par exemple

rt'“0, h~rr O,

les équations f.55) se réduisent à

D’ailleurs

. ('—«“)(■ ~ ÇÎL ■ .(i ■ ■ eî i

i /.v- i - k’eï)'

/ I \ i (i — /.’>■’ i — /f'ej). . ,(i - I, 'eyi i

9{f/~ l**' (I — i e’t.n.- eD /r»*lo(i)'

et ( 57) donne

a, b, à , b' et X sont donc connus. Pour avoir t. il suffit de remarquer que d’après les formules précédenles y est nul en même temps que .r, et la dérivée y’ > égale à }- pour a- = o, sc réduit d'après l’équation VI J as. On trouve ainsi en faisant usage de la valeur (5a de y, simplifiée par les résultats précédents,

l.e problème est résolu. Mais il reste h prouver que la solution obtenue, dans laquelle tout est maintenant déterminé, satisfait à celles des conditions qui u'ont pas été exprimées, et que le quotient

qui d'après les valeurs choisies pour <1, b, b' est entier, se réduit à un carré par-

ItiO *■ DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉliKAL.

Reprenons en rITel l'équation { :’>4 )

(P — Q.» ■ ) — ( « — by)l j; — x, )(x — x,). . .(x — x,).

Si l’on y fait successivement x, =ï ± i, .r, = dr J * et, par suite, d'après les valeurs adoptées polira, a', b, b', y = ± i ,y = ± v. nous aurons

P 4- Q =(« -+- b){x + I ) F, t Jt- ),

P| („*) (J-+j )FJ(x).

et par conséquent

(•"-0 ) Q' — >*P»J — («> — — >.»«*)(»— je») i -ü’x’j '^»(*)F^£)t

F, l.r , F j .c), F, (x), F, (x désignant le produit

{x — x2 )(x — x, ). . . ( x — xr)

correspondant respectivement aux quatre valeurs adoptées pour x,.

Or les quatre fonctions sont des carrés parfaits, et il en est par conséquent de même de leur produit. On a en effet

x, ■ sin tint u,

et les quatre valeurs de ± i, ± j attribuées à .r donnent

COSAM I* Am» U — O,

et par suite

les facteurs

.r, A mu p x r os mu p x r ' ’ i — /, i sin mu p -j

(.r — jy,,». fx —

sont par conséquent égaux, et le produit

composé de facteurs égaux deux à deux, est un carré parfait.

lin résumé, pour résoudre le problème de la transformation, on peut procéder de la manière suivante :

LIVRE TROISIEME. - THÉORIE DES FONCTIONS EIXIPTiyLES. Suit a une racine de l'équation

sinon» (in -F i Ja = o.

Celte racine n'appartenant à aucune autre équation de la forme

siu um h x r= o.

dans laquelle h soit un entier inférieur ii an + i . si l’on détermine une fonction y, un module un coefficient s, par les formules

on aura

(Gu

h“* ■ x(x' — sin'oma) fx’ — sln’itm»). • ■(x1 — sin'nmna) v> (■ — A’^’sin’nmaiO — /.‘.r'siii'wmia). . (i - A’x'sin’nnuia)

(i — siii’irnaKi — sinnma*). . .(i — sin’nnm *)

yX — / " ’

[ i — h’sîtTam x) i ■i'sin’inu»! . (i — l'sia'smaa) e — ^ sin'ama sin'aniaa. . . sln’anm x,

rfy

(il>3. Considérons par exemple le cas de /» = i .

Si l’on pose

si il uni y. — e,

l'équation

sinu/»3x = o

donne (615)

e[3 — 4 *"’ ( » + h‘) + fi/f’e' — é'e*] o.

I.a racine e = o doit être rejetée, mais les autres peuvent être adoptées, parce que sinon» a# n’est pas nul.

On aura

Ci)

It ’e’x’

titii. La formule de transformation peut être mise sous line forme plus dégante. Considérons la somme

y r si n um u -F sin uni ( il -F x) -F si n uni II - F '? x ] -F . . . 'F si II an. ;» -F (u — i)x],

où «a désigne une période quelconque de sin on» u, et n est un nombre impnii quelconque.

On a f 595)

?in am { « + x ) + sin am [«*♦-(« — i ) x

— sin am («-+-*}-+- siimm( u — x) —

7 sin crm u cos am u A am u r — !. 5 sin’<Mt u si d’oui x

sinow{#i -+- aa) -4- sino/n ! n + (» — a) a ] = sin am [u ■+■ ïx)+ sin am[u — 7x)

7. sin am n cos am ?. x \am x x i — Z»1 sin1 am a sin <11/22 z

2 Sin fim» cos am aA am — x

». * -, zi — i

i — k'stnamu sin1 am «

et l'on voit que y est une fonction rationnelle de sina/nt/, dont le dénominateur est évidemment

i — A’sin’amtt sin*«ma { i — A’sin’a/nit sin’/im a«). . . ( i — A’sin’amu sin 1am

Le numérateur est de degré n. Or l'équation y = o, quand on y considère inconnue, a pour racines, on le vérifie aisément,

«-±3t, U — Zl 2Z, . , 71 — ± — x;

l(lH — « ) + SIIKï/7/ I « *4 aj=-

car en faisant u = pet, quel que soit le nombre //, les termes dey deviennent précisément ceux de la somme

si n <!/// x + sin am 2 x -4- ... -4- sin am 1/ x.

Or on a, net étant une période,

sin«////ii — o,

. sin/ïwa -4- si n am {n — 1 )* — n,

sin am 70c + sin am ( n — * ) x — »,

Sin<I/K| X j + Slll <1771 | ^ XJ — ».

et la somme se réduit à zéro.

LIVRE TROISIEME. - THÉORIE DES KoNCTlOKS EI.I.IITlyl'ES. D'après cela, en posant sin «ni « = .r, on a

Cx(i- . )(l- . J' )•••/'- J’ \

' sur mu x 1 si n amsx I . , « — I I

\ sin’nm — • x J

(i — A’x’sin’a/iiaRi — A’x’sin’n/niaO. . . i —

X'x’sin’am I

qui ne diflère île la relation (58) que par un facteur constant et par lu valeur attribuée à n.

Nombre de transformations de degré premier (an -f- 1).

ti<>5. Kn désignant par 2/14-1 un nombre premier impair, il faut, pour appliquer la méthode de transformation, choisir une racine île l’équation

sin a/n( 2» 4- 1 ) x = o.

Cette équation est de degré (2/1 4- 1)’, mais elle admet la solution sin ama =0 qu’il faut rejeter. Il reste donc

racines. Mais à toutes res racines ne correspondent pas de transformations différentes. Remarquons en effet que, pour chaque valeur de a, l’expression des racines est donnée par les formules

x, slnaniH,

x, — si n a/n ( « -e 2},

x„+, ~ sin am(n 4 a/iaj.

Si donc on y remplace a par //«, // étant inférieur à an 4- 1. les racines ne font que se permuter, et l'on oluient la même transformation.

Il faut donc diviser par an le nombre total des racines, ce qui donne en tout

SK + "I — Il -r- I

transformations distinctes. Ht comme on peut à chacune, sans changer son degré, appliquer les six transformations du premier degré, le nombre de transformations d’orilie ix, ix étant premier, est (Sa 4- (i.

«ISO

Influence de Ut transformation sur le rapport des périodes.