I . Cale. tnt. I a

90 DBl'XIKUE PARTIE, -r CALCUL INTEGRAL.

que l'on peut toujours, comme on sait, supposer rationnelle et irréductible par

rapport k u.

On en déduit

do f/g f/r do <l"

(3) dl + ^Tr + irl7ü=°:

l’équation (1) donne d'ailleurs

dx tl y dx

En éliminant entre ces deux équations la dérivée et remplaçant par sa valeur y, on obtiendra une relation de la forme

L’équation (a) étant irréductible, il résulte d'un théorème bien eonnu d’algèbre, que les équations (a) et (5) ne peuvent être satisfaites par une même fonction ti, sans que toutes les solutions de (a) Satisfassent également k l’équation (fi). Mais y étant toujours la fonction déterminée de .r dont l'intégrale est représentée par u, si u, désigne une racine quelconque de l'équation f a , on aura

et par conséquent

f/9 f/o f/r f/g du,

dx dr tlx du, dx

L’équation (5), k laquelle satisfait u,, équivaut k

dx dy dx du, ^ ~

dont 1a comparaison avec la précédente donne évidemment

du,

dx * *

Toutes les racines de l'équation (5). cl par suite celles de (a), ont donc même dérivée par rapport k .r, et par conséquent deux quelconques d’entre elles ont une différence constante. L’une de ces constantes étant considérée comme connue, on peut, en l'introduisant dans le calcul, abaisser le degré de l’équation (a), qui, contrairement k l’hypothèse, ne sprait pas alors irréductible, et il faut, pour échapper k la contradiction, qu’elle soit de premier degré en u.