LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES

107. La seule forme possible de l’intégrale u est, d’après la démonstration précédente,

f et /, désignant deux fonctions entières de x et de /. Quelles que soient ces fonctions, l'équation

à laquelle satisfait/, permet de transformer l’expression de u en éliminant / de son dénominateur.

Soient/,,/, /„ les diverses racines de l'équation (i) et/, celle à laquelle

se rapportent l’intégration et la forme de l’intégrale que nous éludions, on aura

.fit*- r.I f(x, y, )/,( J, /,)■ . . /,( J, V.)

et le dénominateur, fonction symétrique de /,,/, /„, est exprimable ration-

nellement en x\ quant au numérateur, on remarquera, pour le transformer, que/,, v sont les racines de l’équation rationnelle

Ff.r. vl

dont les coefficients contiennent x et/,. Le produit

peut donc s’exprimer en fonction entière de x et de/,, et, par conséquent enfin, u est une fonction rationnelle de x et de /, entière par rapport à/,. Il est clair d’ailleurs que si l’équation (i) est de degré n en/, on pourra s’en servir pour éliminer de u, /" et les puissances supérieures de / qui se déduiront de d'équation (i) elle-même et de celles que l’on obtient en la multipliant par /, /’, /*,..., en sorte que la seule expression possible de l'intégrale u est, lorsqu'on la suppose algébrique,

P„, P,,. ., P,^.| étant des fonctions rationnelles de x que l’on pourra chercher par la méthode des coefficients indéterminés, qui, dans l'immense majorité des cas, montrera l’impossibilité d’une intégrale algébrique.

108. La démonstration précédente suppose essentiellement la présence de la fonction / dans l’intégrale que nous avons désignée par «, et il ne semble pas, par

DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL, conséquent, qu'elle puisse rien apprendre sur la forme des intégrales exprimables en fonction de x seulement; mais cette dilliculté n’est qu'apparente, et un peu d’attention sulüt pour le montrer. Lorsque l’on a, en effet,

If ( II, x ) ~ o,

on peut, d’une infinité de manières, déduire de ces deux équations une relation entre x, y et u, et comme cette introduction dey peut se faire sans changer le degré par rapport à u, la condition d’avoir une équation irréductible par rapport à cette inconnue, c'est-à-dire de moindre degré possible, peut évidemment être remplie pour une relation de la forme qui a été admise dans la démonstration précédente.